"Amaliy matematika" fakulteti "Kampyuter ilmlari va dasturlash texnologiyasi" yo’nalishi

“Amaliy matematika” fakulteti

“Kampyuter ilmlari va dasturlash texnologiyasi” yo’nalishi

MUSTAQIL ISH
Sonli usullar fanidan:

Bajardi: Baratboyev J

Tekshirdi: Xamdamov Y

Jizzax-2022

Reja:
1.1. Kirish

1.2. Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasi
1.3. Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasi
1.4.Xulosa
2.1. Matrisaning xos son va xos qiymatlarini taqribiy hisoblashni Krilov usuli

Agar x nuqta berilgan ma’lumotlar diapozoniga tushmasa, u holda bu interpolyatsiya emas, ekstropolyatsiya deyiladi. Bunda qaysi turdagi interpolyatsion formulani ishlatgan ma’qul? Algebraik ko‘phad ancha qulay, chunki algebraik ko‘phadni trigonometrik va eksponensial ko‘phadlarga qaraganda 1) xatoligini aniqlash, 2) differensiallash, 3) integrallash oson. Nyuton interpolyatsion formulasini bo‘lingan ayirmalar usuli deb ham yuritiladi. Keling, dastlab bo‘lingan ayirmalar usulida chiziqli va kvadratik interpolyatsion formulalarni keltirib chiqaramiz

Interpolyatsiya, interpolyatsiya - hisoblash matematikasida mavjud diskret ma'lum qiymatlar to'plamidan miqdorning oraliq qiymatlarini topish usuli.
Ilmiy va muhandislik hisob-kitoblari bilan shug'ullanadiganlarning ko'pchiligi ko'pincha empirik yoki tasodifiy tanlab olish orqali olingan qiymatlar to'plami bilan ishlashlari kerak. Qoida tariqasida, ushbu to'plamlar asosida boshqa olingan qiymatlar yuqori aniqlik bilan tushishi mumkin bo'lgan funktsiyani qurish kerak. Bunday vazifaga yaqinlashish deyiladi. Interpolyatsiya - bu tuzilgan funksiyaning egri chizig'i mavjud ma'lumotlar nuqtalari orqali aniq o'tadigan yaqinlashish turi.
Interpolatsiyaga yaqin muammo ham bor, bu ba'zilarini taxmin qilishdan iborat murakkab funktsiya boshqa, oddiyroq funktsiya. Agar ma'lum bir funktsiya unumli hisob-kitoblar uchun juda murakkab bo'lsa, siz uning qiymatini bir necha nuqtada hisoblashga harakat qilishingiz va ulardan oddiyroq funktsiyani qurishingiz, ya'ni interpolyatsiya qilishingiz mumkin.
Albatta, soddalashtirilgan funksiyadan foydalanish asl funktsiya beradigan bir xil natijalarni olishga imkon bermaydi. Ammo ba'zi muammolar sinflarida hisoblashning soddaligi va tezligidagi o'sish natijalardagi xatolikdan ustun bo'lishi mumkin.
Bundan tashqari, "operator interpolyatsiyasi" deb nomlanuvchi mutlaqo boshqa turdagi matematik interpolyatsiyani ham eslatib o'tishimiz kerak.
Operator interpolyatsiyasi bo'yicha klassik ishlar qatoriga Riesz-Thorin teoremasi va Markinkevich teoremasi kiradi, ular boshqa ko'plab ishlar uchun asosdir.
Muayyan hududdan mos kelmaydigan nuqtalar tizimini () ko'rib chiqing. Funktsiyaning qiymatlari faqat quyidagi nuqtalarda ma'lum bo'lsin:
Interpolyatsiya muammosi berilgan funksiyalar sinfidan shunday funktsiyani topishdir
Nuqtalar interpolyatsiya tugunlari deb ataladi va ularning umumiyligi interpolyatsiya panjarasi deb ataladi.
Juftliklar ma'lumotlar nuqtalari yoki tayanch nuqtalari deb ataladi.
"Qo'shni" qiymatlar orasidagi farq interpolyatsiya panjarasining qadamidir. U ham o'zgaruvchan, ham doimiy bo'lishi mumkin.
Funktsiya interpolyatsiya qiluvchi funktsiya yoki interpolantdir.
1. Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasi
1. Vazifa tavsifi. Funktsiya uchun mustaqil o'zgaruvchining teng oraliq qiymatlari uchun qiymatlar berilsin: , bu erda - interpolyatsiya bosqichi. Nuqtalardagi qiymatlarni olib, eng ko'p darajali polinomni tanlash kerak
Shartlar (1) ga ekvivalent
Nyutonning interpolyatsiya polinomi kabi ko'rinadi:
Ko'p nomli (2) masala talablarini to'liq qondirishini ko'rish oson. Darhaqiqat, birinchidan, ko'phadning darajasi yuqori emas, ikkinchidan,
E'tibor bering, da formula (2) funksiya uchun Teylor qatoriga aylanadi:
Uchun amaliy foydalanish Nyutonning interpolyatsiya formulasi (2) odatda biroz o'zgartirilgan shaklda yoziladi. Buning uchun formula bo'yicha yangi o'zgaruvchini kiritamiz; keyin biz olamiz:
qaerda ifodalaydi qadamlar soni nuqtadan kelib, nuqtaga erishish kerak edi. Bu oxirgi ko'rinish Nyutonning interpolyatsiya formulasi.
Formula (3) funktsiyani interpolyatsiya qilish uchun foydalanish foydalidir boshlang'ich qiymatga yaqin joyda , bu erda mutlaq qiymatda kichik.
Agar funktsiya qiymatlarining cheksiz jadvali berilgan bo'lsa, interpolyatsiya formulasidagi raqam (3) har qanday raqam bo'lishi mumkin. Amalda, bu holda, raqam shunday tanlanadiki, farq ma'lum bir aniqlik darajasi bilan doimiy bo'ladi. Argumentning istalgan jadval qiymati boshlang'ich qiymat sifatida olinishi mumkin.
Agar funktsiya qiymatlari jadvali cheklangan bo'lsa, unda raqam cheklangan, ya'ni: bo'lishi mumkin emas ko'proq raqam funksiya qiymatlari, bittaga qisqartiriladi.
E'tibor bering, Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasini qo'llashda gorizontal farqlar jadvalidan foydalanish qulay, shundan beri kerakli qiymatlar funktsiya farqlari jadvalning mos keladigan gorizontal chizig'ida.
2. Misol. Bir qadam tashlab, jadvalda berilgan funktsiya uchun Nyuton interpolyatsiya ko'phadini tuzing
Olingan polinom bashorat qilish imkonini beradi. Interpolyatsiya masalasini yechishda yetarlicha aniqlik olinadi, masalan, Ekstrapolyatsiya masalasini yechishda aniqlik pasayadi, masalan, .
2. Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasi
Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasi funksiyani jadval tugunlari yaqinida interpolyatsiya qilish uchun amalda noqulay. Bunday holda, odatda .
Vazifa tavsifi . Bizda funktsiya qiymatlari ketma-ketligi bo'lsin
argumentning teng masofali qiymatlari uchun interpolyatsiya bosqichi bu erda. Quyidagi ko'rinishdagi polinomni tuzamiz:
yoki umumlashtirilgan quvvatdan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
Keyin, tenglik bajarilganda, biz olamiz
Keling, ushbu qiymatlarni formulaga (1) almashtiramiz. Keyin, nihoyat, Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasi kabi ko'rinadi:
Keling, (2) formula uchun qulayroq belgini kiritaylik. Unda ruxsat bering
Ushbu qiymatlarni formula (2) ga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
Bu oddiy ko'rinish Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasi. Funktsiya qiymatlarini taxminiy hisoblash uchun quyidagilar qabul qilinadi:
Nyutonning birinchi va ikkinchi interpolyatsiya formulalari funktsiyani ekstrapolyatsiya qilish uchun, ya'ni jadvaldan tashqarida joylashgan argument qiymatlari uchun funktsiya qiymatlarini topish uchun ishlatilishi mumkin.
Agar va ga yaqin bo'lsa, u holda Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasini, keyin esa foydalanish foydalidir. Agar va ga yaqin bo'lsa, u holda Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasidan foydalanish qulayroqdir.
Shuning uchun Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasi keng tarqalgan oldinga interpolyatsiya Va orqaga ekstrapolyatsiya qilish, va Nyutonning ikkinchi interpolyatsiya formulasi, aksincha, uchun orqaga interpolyatsiya Va oldinga ekstrapolyatsiya.
E'tibor bering, ekstrapolyatsiya operatsiyasi, umuman olganda, so'zning tor ma'nosida interpolyatsiya operatsiyasiga qaraganda kamroq aniq.
Misol. Bir qadam tashlab, jadvalda berilgan funktsiya uchun Nyuton interpolyatsiya ko'phadini tuzing
Xulosa
interpolyatsiya Nyuton ekstrapolyatsiya formulasi
Hisoblash matematikasida funktsiyalarning interpolyatsiyasi muhim rol o'ynaydi, ya'ni. qiymatlari ma'lum nuqtalarda berilgan funktsiyaning qiymatlariga to'g'ri keladigan boshqa (odatda oddiyroq) funktsiyani qurish. Bundan tashqari, interpolyatsiya ham amaliy, ham nazariy ahamiyatga ega. Amalda, muammo ko'pincha tiklashda paydo bo'ladi uzluksiz funksiya uning jadval qiymatlariga ko'ra, masalan, qandaydir tajriba jarayonida olingan. Ko'pgina funktsiyalarni hisoblash uchun ularni polinomlar yoki kasr ratsional funktsiyalar bilan yaqinlashtirish samarali bo'ladi. Interpolyatsiya nazariyasi sonli integrasiya uchun kvadratura formulalarini qurish va o‘rganish, differensial va integral tenglamalarni yechish usullarini olishda qo‘llaniladi.