Amaliy mashg’ulot №9

25-rasm. Ildizlarning kompleks tekisligi. .

1. 
   Nazariy jihatdan har bir ildiz koordinatalar boshidan nuqtaga o‘tkazilgan vektor ko‘rinishida tasvirlanadi. Bu vektor uzunligi kompleks sonning moduliga teng. Haqiqiy o‘qning musbat yo‘nalishi va vektor orasida hosil bo‘lgan burchak kompleks sonning argumenti yoki fazasiga teng. Kompleks o‘zgaruvchi tekisligida ildiz holatining o‘zgarishi argument o‘zgarishiga olib keladi.
   
2. 
   Xarakteristik tenglama ga ni qo‘yib vektor argumenti o‘zgarishini olamiz – .
   

Agar xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari mavhum o‘qdan chapda joylashgan bo‘lsa, Lyapunov teoremasiga ko‘ra sistema turg‘un bo‘ladi. Chastota o‘zgarsa vektor musbat, ya’ni soat o‘qiga teskari yo‘nalishda buriladi. Chastota -∞ dan ∞ gacha o‘zgarganda vektor o‘zgarishi quyidagiga teng bo‘ladi . Bu yerda n- xarakteristik tenglama darajasi va u tenglama ildizlari sonini aniqlaydi. - esa argument ning eng katta o‘zgarishi.

agar -∞ dan ∞ gacha o‘zgarsa vektor komplek o‘zgaruvchilar tekisligida o‘z uchi bilan egrilikni chizadi va bu egrilik xarakteristik egrilik yoki vektorning gadografi deyiladi.

Xarakteristik egrilikning tenglamasini ko‘pxad ga ni qo‘yish orqali topish mumkin

(2)

Bu tenglamada haqiqiy qisimni mavhum qisimdan ajratib, quyidagini olamiz:

(3)

Bu yerda - haqiqiy qism;

- esa mavhum qism. Chunki ekanligini esga olamiz. Shuning uchun xarakteristik tenglama tarkibiga kirgan barcha juft darajali j( ) qo‘shiluvchilar haqiqiy, toq darajaligi esa mavhum kattalik bo‘ladi.

Agar ni 0 dan  gacha ketma-ket o‘zgartirsak, vektor Mixaylov godografi nomli egri chiziqni hosil qiladi. Kompleks tekislikdagi godograf shakli bo‘yicha tadqiq qilinayotgan sistemaning turg‘unligi haqida fikr yuritish mumkin. Mixay­lov kriteriysi quyidagicha ifodalanadi: Agar R(j ) xarakte­ristik funksiyasining godografi ning 0 dan  gacha o‘zgarishida musbat yunalishda kompleks tekislikning n kvadrantlarning birontasini ham tushirib qoldirmay aylanib chiqsa (n – ko‘rilayotgan sistema xarakteristik tenglamasining darajasi), rostlash sistemai turg‘un bo‘ladi. Bu xususiy holda soat strelkasining harakatiga teskari yo‘nalish musbat hisoblanadi.

Agar (1) yoki (2) ifodalarda =0 deb faraz qilinsa, R(j)=a₀ bo‘ladi. Boshqacha qilib aytganda =0 bo‘lsa, godograf haqiqiy o‘qni koordinata boshidan a₀ masofada turgan nuqtada kesib o‘tadi. Agar U() o‘zgaruvchi  ning juft, V() esa toq funksiyasi ekanligini e’tiborga olsak, godograf haqiqiy o‘qqa nisbatan simmetrik joylashadi degan xulosaga kelamiz. Shuning uchun  ning 0 dan  gacha o‘zgarishida godografning yarim tarmog‘ini qurishning o‘zi kifoya.

3. 
   
   
4. 
   26-rasm. Xarakteristik egriliklar.
   
5. 
   a)turg‘un sistemalr, b) noturg‘un sistemlar, v) sistema turg‘unlik chegarasida..