Амалий машғулот №1 Математик индукция усули. Тўпламлар устида амаллар

Амалий машғулот №1
Математик индукция усули. Тўпламлар устида амаллар .





2. Математик индукция усули
Натурал n сонга боғлиқ бирор Ф_n фикр, мулоҳазани (исботланиши керак бўлган тасдиқни):
1) бўлганда (баъзан бўлганда) Ф_n нинг ўринли бўлиши кўрсатилса,
2) бўлганда бу Ф_n ни ўринли деб фараз қилиниб,
3) учун Ф_n нинг ўринли бўлиши исботланса, у ҳолда Ф_n фикр барча лар учун ўринли бўлади. Фикрни шу йўл билан исботлаш математик индукция усули билан исботлаш дейилади.
1 – м и с о л . Ушбу
(1)
тенглик исботлансин.
◄(1) тенглик Ф_n фикрни ифодаласин. Бу фикр бўлганда (Ф₂ фикр) ўринли бўлади, чунки
.
бўлганда Ф_n фикр (яъни Ф_k) ўринли бўлсин деб фараз қиламиз:
.
Энди Ф_n фикрни учун (яъни Ф_k+1 ни) ўринли бўлишини кўрсатамиз:


Демак, (1) тенглик барча лар учун ўринли бўлади.►
2 – м и с о л . Қавариқ бурчакли кўпбурчакнинг ички бурчаклари йиғиндиси
(2)
бўлиши исботлансин, бунда - тўғри бурчак.
◄Маълумки, бўлганда кўпбурчак учбурчакка айланиб, унинг ички бурчаклари йиғиндиси 2 га тенг.
Демак, да

бўлиб, (2) тенглик ўринли.
Айтайлик, бурчакли кўпбурчакнинг учлари

бўлсин. Бу кўпбурчакнинг ва учларини тўғри чизиқ кесмаси билан бирлаштириб, берилган бурчакли кўпбурчакни учлари да бўлган бурчакли кўпбурчак ва учлари бўлган учбурчакларга ажратамиз (1-чизма).



1-чизма.

Равшанки,
.
Учлари нуқталарда бўлган бурчакли кўпбурчак учун (2) формула ўринли бўлсин деб фараз қилайлик:

Энди бурчакли кўпбурчакнинг ички бурчаклари йиғиндиси учун (2) тенгликнинг ўринли бўлишиникўрсатамиз:

Демак, (2) тенглик барча лар учун ўринли.►
Математик индукция усулидан фойдаланиб, қуйидаги тенгликларнинг ихтиёрий натурал сон учун ўринли бўлиши исботлансин:

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .

Математик индукция усулидан фойдаланиб, қуйидаги йиғиндилар ҳисоблансин:
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17.
18.


Тенгсизликлар исботлансин.
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24. .
25. .
26. .
27. .
28. .

Тенгликлар исботлансин:
29. .
30. .
31. .
32. .
33. .
34. .