Алгебраик тенгламалар системасини ечиш усуллари

Алгебраик тенгламалар системасини ечиш усуллари

• Маърузачи: Мухамадиев А.Ш.

Мавзу режаси

• Крамер қоидаси
• Тескари матрицалар усули
• Гаус усули

• Алгебраик тенгламалар системасини ечиш

• Чизиқли тенгламалар системаси

• n та х1, х2,…хn номаълумли m та тенгламалар системаси деб қуйидаги кўринишдаги тенгламаларга айтилади

• Бу ерда а11, а12,…аmn – сонлар система коэффициентлари дейилади. Ҳеч бўлмаганда битта ечимга эга система биргаликда дейилади. Агар система ечимга эга бўлмаса, у ҳолда биргаликда эмас дейилади.

• (1)

• Ягона ечимга эга бўлган биргаликдаги ситема аниқланган дейилади, биттадан ортиқ ечимга эгалари эса аниқлангмаган дейилади.
• Нолга тенг бўлмаган минорларининг энг юқори даражаси матрица ранги дейилади ва rang A деб белгиланади.

• Системанинг асосий ва кенгайтирилган матрицалари дейилади.
• Теорема (Кронекер-Капелли): Чизиқли тенгламалар системаси биргаликда бўлиши учун системанинг асосий ва кенгайтирилган матрицалари ранги ўзаро тенг бўлишлиги зарур ва етарлидир.

• Матрицалар

• .

• 1. Крамер қоидаси

• х =А-1b тенгликни қуйидагича ёзиш мумкин

• Лаплас теоремасига кўра

• i=1..n,

• Бу ерда = |А|,  i–  нинг i-чи устунини озод ҳад устуни билан алмаштирилгани детерминантига тенг.

• Мисол 1. Системани Крамер формуласи билан ечинг.

• Ечиш: Системани Крамер формуласи билан ечамиз.

• D 0, демак, система ягона ечимга эга

• жавоблар: x1 = 5, x2 = -1, x3 = 1.

• (1) система Ах=b га эквивалент. Бу (1) нинг матрица шаклидаги ёзувидир.
• Агарда |А| 0 бўлса, у ҳолда А матрица бузилмаган деб аталади ва бу матрица учун тескари матрица А-1 матрица мавжуд

• x = А-1b.

• 2 Матрицалар усули

• Бу ерда Аij – матрица мос элементларининг алгебраик тўлдирувчилари.

• У ҳолда

• Мисол: Тенгламалар системасини
• Матрицалар усули билан ечинг

• Демак А – бузилмаган ва тескари матрица

• Aij=(-1)i+j Мij.

• мавжуд

• 3. Гаусс усули

• Матрицанинг элементар алмаштиришлари қуйидаги амалларга айтилади:
• а) матрицанинг икки қаторининг ўрнини алмаштириш;
• б) 0 сонга қаторни кўпайтириш;
• в) матрицанинг бирор қаторига 0 сонга кўпайтирилган бошқа қаторини қўшиш;
• г) матрицани транспонирлаш.

• Элементаралмаштиришлар матрица рангини ўзгартирмайди. Шунинг учун матрица рангини ҳисоблашда у элементар алмаштиришлар ёрдамида ранги осон ҳисобланувчи В матрица кўринишига келтирилади, ранг которой легко находится. Агарда rang A=rang B бўлса, AB бўлади.

• Қуйидаги чизиқли тенгламалар системасини қараймиз

• трапеция кўриниши

• Унинг кенгайтирилган матрицасини элементар алмаштиришлар ёрдамида қуйидаги кўринишларга келтириш мумкин

• Уч бурчак кўриниш

• (2)

• (3)

• (2.2) матрица алмаштирилган системага мос келади

• Бу ҳолда , охирги тенгламадан бошлаб, кетма-кет xn, xn-1,…x1 лар топилади, агарда cnn0, … c220, a110 бўлса. Агарда бирор бир i-чи қаторда барча сij=0, ва di0 бўлса, у ҳолда бу система биргаликда эмаслигини билдиради. Демакл бу ҳолда rang([A|b])rang(A).

• Мисол: Тенгламалар системасини

• Гаусс усули билан ечинг

• Системанинг кенгайтирилган матрица ии:

• Иккинчи қаторни биринчига, биринчи қаторни учинчига кўчирамиз ва қуйидагини оламиз:

• Биринчи қаторни -4 га кўпайтириб учинчи қаторга қўшамиз:

• 2-чи қаторни 6 га кўпайтириб 3-чи қаторга қўшамиз:

• Матрица уч бурчакли кўринишга келди ва унга мос тенгламалар системаси қуйидагича бўлади:

• Охирги тенгламадан бошлаб системанинг ечимларини топамиз:

• Мисол: Гаус усули билан системани ечинг

• Т.к. rang(A)=3<4=n, то система имеет  решений.

• Системанинг асосий матрицаси:

• Бирични ва учинчи қаторларни алмаштирамиз:

• От второй строки отнимем три первых строки, а от третьей – вторую:

• - базисный минор, х1, х2, х3 – базисные переменные, х4 – свободная.

• Пусть х4=2t, tR, тогда:

• Матрица приведена к трапециевидной форме, ей соответствует преобразованная система уравнений:

• Находим решение этой системы, начиная с последнего уравнения.