Algebraik amalga nisbatan neytral, yutuvchi va simmetrik elementlar Rеjа

6. Halqa va maydon

Faraz qilaylik, K to’plamda ikkita algebraik amal aniqlangan bo’lsin. Bu amallardan biri + belgisi bilan tasvirlanib qo’shish, ikkinchisi ^. belgi bilan tasvirlanib ko’paytirish amallari bo’lsin.

1 - ta’rif. Agar quyidagi shartlar bajarilsa, K to’plam qo’shish va ko’paytirish amalariga nisbatan halqa deb ataladi
1. Qo’shish amli kommutativlik xossasiga ega, ya’ni a, bK uchun a+b=b+a o’rinli.
2. Qo’shish va ko’paytirish amallari assosiativlik xossasiga ega, ya’ni a,b,cK uchun (a+b)+c=a+(b+c) va (ab)c=a(bc) o’rinli.
3. Qo’shishga teskari amal mavjud, ya’ni a,bK uchun a+x=b teglama K da echimga ega.
4. Ko’paytirish amali qo’shish amaliga nisbatan distributivlik xossasiga ega, ya’ni a,b,cK uchun a(b+c)= ab+ac va (b+c)a=ba+ca.
Shuni ta’kidlab o’tamizki, K halqa elementlarini qushish va ko’paytirish amallari K halqada aniqlangan bo’lgani uchun har bir a ba b elementlar uchun a+b va a^.b bir qiymatli aniqlangan bo’lib, ular shu K to’plamga tegishli bo’lishi kerak.
2-ta’rif Agar K halqada ko’paytirish amali kommutativ bo’lsa, ya’ni a, bK uchun ab=ba bo’lsa, K -kommutativ halqa deb ataladi.
3-ta’rif. Agar K halqadagi amallar qo’shish va ko’paytirishdan iborat bo’lib, uning elementlari sonlar bo’lsa, uni sonli halqa deb ataladi.
Misollar. 1. Z to’plam qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil etadi, chunki, halqa ta’rifidagi 1-4 shartlar bajariladi (tekshiring).
2. x o’zgaruvchining R[x] ko’phadlari to’plami qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qiladi.
Haqiqatdan, R[x] to’plamda ko’phadlarni qo’shish va ko’paytirish amllari algebraik amallar bo’ladi, chunki bu amallar natijasida yana ko’phad hosil bo’lib u R [x] to’plamga tegishli. Osongina ishonch hosil qilish mumkinki bunda halqaning 1-4 shartlari bajariladi. Haqiqatdan, R[x] to’plamdagi
f(x)=a₀ xⁿ+a₁x^n-1+... +a_n
g(x)=b₀ xⁿ+b₁x^n-1+... +b_n
(x)=c₀ xⁿ+c₁x^n-1+... +c_n
ixtiyoriy ko’phadlarni qarasak,
1⁰. f(x) +g(x)=g(x) + f(x)
2. (f(x)+g(x))+(x)=f(x)+(g(x)+(x))
(f(x)g(x))(x)=f(x)(g(x)(x))
3. f(x)+X=g(x) tenglama R [x] da echimga ega, chunki, X=g(x)-f(x) R[x].
4. f(x)(g(x)+(x))=f(x)g(x)+ f(x)(x) tengliklar o’rinli bo’ladi.
Demak, halqa ta’rifidagi shartlar bajariladi. R[x] ko’phadlar to’plami qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qiladi. Bundan tashqari, f(x)∙g(x)=g(x)∙f(x) tenglik ham o’rinli bo’lgani uchun R[x] to’plam kommutativ halqa tashkil qiladi.
3. [a,b] segmentda uzluksiz funksiyalar to’plami F ni qaraymiz. F da ikkita uzluksiz f(x) va g(x) funksiyalar yig’indisi f(x)+g(x) va ko’paytmasi f(x).g(x) yana F to’plamda uzluksiz funksiyalardan iborat bo’ladi. Demak, funksiyalarni qo’shish va ko’paytirish F da algebraik amallardan iborat bo’ladi. Bu amallar uchun 1-4 shartlarning bajarilishini va ko’paytirish amalining kommutativlik xossasiga egaligini osongina tekshirish mumkin. Demak, F to’plam kommutativ halqa tashkil qilar ekan.
4. n-tartibli matritsalar to’plami M matritsalarni qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qiladi. Matritsalarni qushish amali algebraik amal bo’lib, uning kommutativlik va assosiativlik xossalariga ega ekanligini ko’rgan edik. Ko’paytirish amali ham algebraik amal bo’lib bu amal kommutativlik xossasiga ega emas (tekshirib ko’ring).
5. n-tartibli matritsalar to’plami M matritsalarni qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil etishini ko’rish qiyin emas. U kommutativ bo’lmagan halqa tashkil etadi (ko’rsating).
Endi halqa ta’rifidan kelib chiqadigan xulosalarni ko’rib chiqamiz.
1. 2 shartdan halqaning bir nechta elementlarini qo’shish va ko’paytirish tushunchalari kelib chiqadi:
a₁+a₂+a₃=(a₁+a₂)+a₃=a₁+(a₂+a₃)
a₁+a₂+a₃+a₄=(a₁+a₂+a₃)+a₄, a₁+a₂+.....+a_n-1+a_n=(a₁+a₂+....+a_n-1)+a_n
xuddi shuningdek
a₁.a₂.a₃=(a₁.a₂).a₃
a₁a₂a₃a₄=(a₁a₂a₃)a₄
a₁a₂....a_n-1a_n=(a₁a₂....a_n-1).a_n.
Bu kabi qo’shish va ko’paytirishlar yagona usul bo’lmasdan qavslarning o’rnini istalgancha o’zgartirish mumkin (qo’shiluvchi va ko’paytuvchilarning tartibini o’zgartirmagan holda). Masalan,
a₁+a₂+a₃=a₁+(a₂+a₃)=(a₁+a₂)+a₃
2. Halqada butun musbat daraja tushunchasini kiritish mumkin: aK sonning n - darajasi deb ko’paytmaga aytiladi va aⁿ deb belgilanadi: a sonning o’zi a¹ deb qaraladi.
Halqada butun musbat darajalar uchun darajalar ustidagi odatdagi amallar qoidasi o’rinli ekanligini tekshirish oson:
aⁿ a^m=a^m aⁿ=a^n+m, (aⁿ)^m=a^nm. Agar K kommutativ halqa bo’lsa, (ab)ⁿ=aⁿbⁿ qoida ham o’rinli bo’ladi (tekshirib ko’ring).
3. 3-shartdan shunday c son tanlash mumkinligi kelib chiqadiki, bunda K ning ixtiyoriy b elementi uchun b+c=b tenglik bajariladi, ya’ni c element 0 vazifasini bajaradi. K halqaning y elementi nol deb ataladi, agar, uning ixtiyoriy a elementi uchun a+y=a tenglik bajarilsa. Halqada nol element yagona bo’ladi va u_o deb belgilanadi.
Endi a+x=b tenglamani qanday yechish kerakligini aniqlash mumkin. Bu tenglamaning har tarafga -a ni qo’shsak, yagona x=b+(-a) yechimga ega bo’lamiz. Bu yechim b-a kabi yoziladi va u a va b sonlarning ayirmasi deyiladi. Demak, K haqida ayirish amali bir qiymatli bajariladi. Ravshanki, a-a=0, 0-a=-a bo’ladi. K halqada 0 dan boshqa bir deb ataluvchi element ham mavjud. K halqaning bir elementi deb shunday e0 elementga aytiladiki, bunda ixtiyoriy aK element uchun ae=ea=a o’rinli bo’ladi. K halqada bir degan element ham yagona bo’ladi.