Chiziqli differensial tenglamalarю Mustaqil yechish uchun mashqlar

CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALARю Mustaqil yechish uchun mashqlar

I. Bernulli tenglamasi

+P(x)y=Q (x)yⁿ (1)

ko‘rinishdagi tenglama Bernulli tenglamasi deyiladi, P(x), Q(x) - x ning uzluksiz funksiyalari. Bu tenglamaning n≠0, n≠1 bo‘lganda tenglamaning har ikki tomonini yⁿ ga bo‘lib osongina I-tartibli chiziqli tenglama ko‘rinishiga keltiriladi.

Misol:

1. Bernulli tenglamasini integrallang:

Tenglamaning har ikki tomonini y² ga bo‘lamiz.

; belgilash kiritamiz ni x bo‘yicha differensiallaymiz -, chiziqli tenglama hosil bo‘ladi, z=u*v; u,

u()+v=x , , v=x x,

u=x+C; z=x(x+C) , y= umumiy yechim.

II. To‘la differensialli tenglama.

Agar M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (2)

tenglamaning chap qismi biror F(x,y) funksiyaning to‘la differensiali bo‘lsa berilgan tenglama to‘la differensialli tenglama deyiladi, bunda

dF=M(x,y)dx+N(x,y )dy (3)

(2) tenglama to‘la differensialli bo‘lishi uchun shart bajarilishi kerak.

Misol:

2. (2x+3x²y)dx+(x³-3y²)dy=0 (4)

differensial tenglama to‘la differensialli tenglama ekanini aniqlang va tenglamani yeching. M=2x+3x²y, N=x³-3y²

tenglik o‘rinli, demak berilgan tenglama to‘la differensial tenglama. To‘la differensial

dF=_xdx+_y dy bo‘ladigan F( x,y) funksiyani topamiz. _x=2x+3x²y,

_y =x³ (5) tenglamaning birinchisini o‘zgaruvchi y ni o‘zgarmas deb olib, x bo‘yicha integrallaymiz:

F=(2x+3x²y)dx=x²+x³ y + (y)

Bu ifodani (5) ning ikkinchi tenglamasiga qo‘yib

[x²+x³y+ (y)]=x³-3y² , bu tenglikdan x³+, hosil bo‘ladi.

Integrallasak . Demak F(x,y)=x²+x³y-y³+C tenglamaning umumiy yechimi hosil bo‘ladi.
Mustaqil yechish uchun mashqlar
Berilgan Bernulli tenglamalarini integrallang:

1. 2.

3. 2x²y+3x²y²+7=0 4. 3xy² -2y³=x²
Quyidagi differensial tenglamalarni to‘la differensialli tenglama ekanini aniqlang va tenglamalarni yeching:

5. 2xydx +(x²-y²)dy=0 6. (2-9xy²)xdx +(4y²-6x³)ydy=0

7. e^-ydx-(2y+xe^-y)dy =0 8.

9.

Berilgan differensial tenglamalarni integrallang:

10. = 11. =y²e-2xy

12. 2 +y tgx =y²sinx 13. xy dy =(y²+x²)dx

14. 2x(1+)dx- dy =0 15. (1+y²sin2x)dx-2y cos²x dy =0

16. 3x²(1+lny)dx=(2y-)dy

17. ()dx +