Алгебра математиканинг алгебраик амалларни урга- нувчи булими. Энг содда алгебраик амаллар натурал сонлар ва мусбат рационал сонлар устидаги амаллардир. Уларнинг барча асосий хоссалари к;адим замонларда маълум булган

1. ( ) ((– n) + ( – k) = – (n + k));
2. (n > 0, k > 0, n > k) (( – k) + n = n + ( – k) = n – k));
3. (n > 0, k > 0, k > n) (( – k) + n = n + ( – k) = – (k – n));
4. ( ) (0 + z = z + 0 = z):
5. n ‧ ( – k) = ( – n) ‧ k = – nk;
6. (– n) ‧ (– k) = – nk;
7. z ‧ 0 = 0 ‧ z = 0.

2. Бутун сонлар ҳалқасида бўлиниш муносабати ва унинг хоссалари

Бутун сонлар тўпламида
b + x = a (1)
тенглама доимо ечимга эга бўлади Лекин бутун сонлар тўплами бўлиш амалига нисбатан ёпиқ бўлмаганлигидан бу тўпламда
b ‧ x = a (2)
тенглама ҳар доим ҳам ечимга эга бўлавермайди. Масалан, 2х = 7 тенгламани тўғри тенгликка айлантирувчи бутун сон йўқ. Лекин шундай а ва b бутун сонлар мавжудки, улар учун нисбат доимо бутун сон бўлади. Масалан,
a) b = ±1 бўлса, у ҳолда = ± а бўлади;
б) а = 0 бўлиб, b 0 бўлса, у ҳолда = 0 бўлади;
в) a = bk бўлиб, k бутун сон ва b 0 бўлса, у ҳолда бутун сон бўлади.
1-таъриф. Агар a, b 0 сонлар учун
a = bq (3)
шартни қаноатлантирувчи а бутун сон мавжуд бўлса, у ҳолда а сон b сонга бўлинади ёки b сон а ни бўлади дейилади.
Агар а сон b га бўлинса, у ҳолда а/b ёки а⁝b кўринишларда белгиланади. Кўп ҳолларда а/b бўлса, b сон a соннинг бўлувчиси ҳам дейилади. (3) тенгликдаги а бўлинувчи, b бўлувчи, q эса бўлинма дейилади.
1-теорема. Агар а 0 ва b 0 бўлиб, а = bq тенгликни қаноатлантирувчи q сон мавжуд бўлса у ягонадир.
Исботи. Тескарисини фараз қиламиз, яьни (3) шартни қаноатланти-рувчи камида иккита ва турли q₁ ва q₂ сонлар мавжуд бўлсин, яъни a = bq₁, a = bq₂ тенгликлар ўринли бўлсин. Бу тенгликлардан bq₁ = bq₂ тенглик келиб чикади. Бундан b(q₁ – q₂) = 0 бўлади. Лекип b 0 бўлганидан ва Z да нолнинг бўлувчиси бўлмаганлигидан q₁ – q₂ = 0, q₁ = q₂ келиб чиқади. Бу эса қилган фаразимизга зид. Демак, а бўлинма ягона экан.
Бутун сонлар тўпламида киритилган бўлиниш муносабати қуйидаги хоссаларга эга:
1°. ( ) (0/a);
2°. ( ) (a/a); (рефлексивдик);
3°. ( ) (a/1);
4º. ( ) (a/b b/c a/c) (транзитивлик);
5°. ( ) (a/b b/c) b = ± a
6°. ( ) (a/c ab/c);
7°. ( (i = 1, r)) b₁/a b₂/a … b_r/a
бўлиб, x₁, x₂, ..., х_r ихтиëрий бутун сонлар бўлса, у ҳолда (b₁x₁ + b₂x₂ +… + b_rx_r)/a бўлади.
Биз бу хоссалардан охиргисини исбот қилайлик. Бўлиниш таърифига асосан
b_i = aq_i, ( i = (4)
тенгликлардан ҳар бирини мос равишда х_i га кўпайтириб, натижааларни ҳадлаб қўшсак,

тенглик ҳосил бўлади. Охирги тенглик нинг а сонга бўлинишини кўрсатади.

Камида бири нолдан фарқли бўлган иккита бутун сонларнинг умумий бўлувчилари ичида энг каттаси уларнинг энг катта умумий бўлувчиси (Э.К.У.Б.) дейилади.

а ва b сонларнинг энг катта умумий булувчиси (а, b ) орқали белгиланади.

Қолдиқли бўлиш

Биз юқорида а ихтиерий бутун сон, b эса натурал сон бўлганда нисбат ҳар доим бутун бўлавермаслигини эслатиб ўтган эдик. Лекин қуйидаги теорема доимо ўринли бўлади.
Теорема (қолдиқли бўлиш). Ҳар қандай ва учун шундай ягона ва ягона манфиймас r бутун сон топиладики, улар учун ушбу