a = q + r, (1)
(2)
муносабатлар ўринли бўлади.
Исботи, bq coн b нинг а дан катта бўлмаган энг катта карралиси бўлсин. У ҳолда bq a ва муносабатлар ўринли бўлади (Архимед аксиомаси).
Бу икки боғланишдан bq муносабат келиб чиқади. Бу қўштенгсизликнинг ҳар бир қисмига (– bq) ни қўшсак, 0 тенгсизлик ҳосил бўлади. Бу ерда а – bq = r белгилаш киритсак, (1) ва (2) муносабатлар ўринли бўлади.
Энди q ва r ларнинг ягоналигини исбот килайлик. фараз қилайлик (1) ва (2) ни каноатлантирадиган ва мавжуд, яьни
a = bq1 + r1, (3)
0 r1 b (4)
муносабатлар бажарилсин. (1) ва (3) дан bq + r=bq1+ r1 ёки r – r1=b(q – q1) тенглик ҳосил бўлади. Охирги тенгликдан (r – r1)/b келиб чикади. Лекин бўлганидан (r – r1)/b муносабат фақат ва фақат r – r1 = 0 бўлгандагина бажарилади, яьни r1 = r келиб чикади. r – r1 = b(q – q1) тенгликдан r1 = r ва b нинг натурал сон эканлиги эътиборга олинса, у ҳолда q – q1 = 0 яъни q = q1 эканлиги келиб чикади. Демак, (1) ва (2) муносабат-ларни қаноатлантирувчи q ва r сонлари ягона экан. Агар ихтиёрий бугун сон бўлса, у ҳолда (1) ва (2) муносабатлар учун ўринли бўлади.
Do'stlaringiz bilan baham: |