Aksiomatik usul evklid negizlari

Teorema. Ikkita va natural sonlar berilgan bo`lsin, bunda p<sub>1</sub>, p<sub>2</sub>, …, p<sub>s</sub> — turli tub sonlar, k<sub>i</sub> va l<sub>i</sub> — daraja ko`rsatkichlar esa nomanfiy butub sonlar. M soni n soniga bo`linidhi uchun barcha i =1, 2, … , s uchun k<sub>i</sub>  l<sub>i</sub> tengsizlik bajarilishi zarur va yetarli.
Isboti:
 Agar m=nx, bunda xN, bo`lsa, x ning istalgan tub bo`luvchisi p<sub>1</sub>, p<sub>2</sub>, … , p<sub>s</sub> sonlardan biriga teng bo`ladi. Shuning uchun kabi yozish mumkin,bu yerda t_i0.
Bundan .
Natural sonning tub ko`paytuvchilarga yoyilmasining yagonaligidan k<sub>i</sub>=l<sub>i</sub>+t<sub>i</sub>, bundan esa barcha i=1, 2, 3, … , s uchun k<sub>i</sub>l<sub>i</sub> ekani kelib chiqadi.
 Agar barcha i=1, 2, 3, … , s uchun k<sub>i</sub>l<sub>i</sub> bo`lsa, u holda bo`ladi. Bundan m=nx ekani kelib chiqadi.
Bu teoremadan berilgan sonlarning eng katta umumiy bo`luvchisini va eng kichik umumiy karralisini topishning yangi uslini beradi.
1. EKUB(m₁,m₂,…,m_r) = , bu yerda barcha i=1,2,…,s lar uchun u_i=min{k_1i,k_2i,…,k_ri}.
Ya`ni, berilgan sonlarning eng katta umumiy bo`luvchisini topish uchun ularning tub ko`paytuvchilarga yoyilmasidagi bir xil tub ko`paytuvchilarni eng kichik darajalari bilan olib, ularni o`zaro ko`paytirish kerak.
2. EKUK(m₁,m₂,…,m_r) = , bu yerda barcha i=1,2,…,s lar uchun v_i=max{k_1i,k_2i,…,k_ri}.
Ya`ni, berilgan sonlarning eng kichik umumiy karralisini topish uchun ularning tub ko`paytuvchilarga yoyilmasidagi bir xil tub ko`paytuvchilarni eng katta darajalari bilan olib, ularni o`zaro ko`paytirish kerak.
Misol. 91476, 3960 va 3360 sonlarining eng katta umumiy bo`luvchisini toping.

91476	2	3960	2	3360	2
45738	2	1980	2	1680	2
22869	3	990	2	840	2
7623	3	495	3	420	2
2541	3	165	3	210	2
847	7	55	5	105	3
121	11	11	11	35	5
11	11	1	7	7
1	1
91476=2^23^3711^2		3960=2^33^2511		3360=2^5357

Bulardan, EKUB(1476, 3960, 3360)=2²3²5⁰7⁰11⁰=12
Javob: 12
Misol: 462, 252, 90 sonlarining eng kichik umumiy karralisini toping.

462	2	252	2	91	7
231	3	126	2	13	13
77	7	63	3	1
11	11	21	3
1	7	7
1
462=23711		252=2^23^27		91=713

Bulardan, EKUK(462, 252, 91)=2²3²7¹11¹13¹=36036
Javob: 36036.
5. Berilgan sonning bo`luvchilari sonini aniqlash.
Teorema. sonining barcha natural bo`luvchilari soni (₁+1) (₂+1)… (_k+1) ga teng.
Isbot. n sonining har bir natural bo`luvchisini yagona usulda ko`rinishda yozish mumkin, bunda barcha i=1,2,3, …, k lar uchun _i≤_i. shuning uchun n sonining barcha bo`luvchilari soni (<sub>1</sub>,<sub>2</sub>,<sub>3</sub>, …,<sub>k</sub>) majmuaning mumkin bo`lgan barcha holatlari soniga teng. _i son 0 dan _i gacha _i+1 xil qiymat qabul qiladi, shu sababli mumkin bo`lgan holatlar soni (<sub>1</sub>+1) (<sub>2</sub>+1)… (<sub>k</sub>+1) ga teng.
Misol. 180 sonining barcha natural bo`luvchilari sonini toping.
Yechilishi. 180=2²3²5. (180)=(2+1)(2+1)(1+1)=18