Aksiomatik usul evklid negizlari

3. Eng kichik umumiy karrali (EKUK)
Ta`rif: a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, … , a<sub>n</sub>Z sonlarning har biriga bo`linadigan son bu sonlarning umumiy karralisi (bo`linuvchisi) deyiladi. Berilgan sonlarning istalgan umumiy karralisining bo`luvchisi bo`lgan umumiy karralisi bu sonlarning eng kichik umumiy karralisi deyiladi.
Berilgan sonlarning eng kichik umumiy karralisi h=EKUK(a,b) kabi belgilanadi.
Teorema. Agar d=EKUB(a,b), d≠0 bo`lsa, u holda h=EKUK(a,b)= bo`ladi.
Isbot: h soni a va b sonlarining umumiy karralisi bo`lgani uchun va bo`ladi.
x — a va b sonlarining istalgan boshqa bir umumiy karralisi bo`lsin, u holda x=au, x=bv (u,vZ) bo`ladi. Bundan au=bv kelib chiqadi. Bu tenglikning har ikki tomomini d ga bo`lsak: . va sonlar o`zaro tub bo`lgani uchun u soni ga bo`linadi. Shuning uchun , tZ. Bundan, . Shunday qilib, x doni ga bo`linadi. Demak, x soni h ga ham bo`linadi.
Misol. EKUK(462,252) ni toping.
462 = 252⋅1 + 210,
252 = 210⋅1 + 42,
210 = 42⋅5.
demak, EKUB(462,252) =42

Javob: EKUK(462,252)=2772


Mashqlar.
Quyidagi sonlarning EKUK ini toping.
1) 645 и 381; 2) 846 и 246; 3) 5338 и 11618.
Javob: 1) 81915; 2) 34686; 3) 197506.


4. Natural sonlarni tub ko`paytuvchilarga ajratish.
Istalgan natural sonni tub ko`paytuvchlar ko`paytmasi shaklida tasvirlash mumkin, bunda bir xil ko`paytuvchilar ko`paytmasi daraja shaklida yozildi. Agar zarur bo`lsa, bu ko`paytmada tub sonlarning nol ko`rsakichli darajasini ham qo`llash mumkin. Shunday qilinganda chekli sondagi istalgan tub sonlarni bir xil tub sonlar nomanfiy butun ko`rsatkichli darajalarining ko`paytmasi shaklida tasvirlash mumkin.
Misol. a=2<sup>5</sup>513<sup>3</sup>, b=3<sup>2</sup>7<sup>4</sup>, c=5<sup>3</sup>17<sup>2</sup> sonlarni bir tub sonlar darajalarining o`paytmasi shaklida yozing.
Yechilishi.
a=2⁵513³=2⁵3⁰5¹7⁰13³17⁰,
b= b=3²7⁴=2⁰3²5⁰7⁴13⁰17⁰,
c=5³17²=2⁰3⁰5³7⁰13⁰17².