Акназар Бегдурдиевич Xасанов

Следствие 1 При каждом справедливо равенство



Обозначим через множество



Легко заметить, что множество является компактным.


Следствие 2 Если , то семейство функций и



сходиться равномерно при .

Следует отметить, что множества служить пограничным слоем данной задачи, как в теории сингулярных возмущений, где нет равномерной сходимости.

3 Оценка устойчивости решения задачи Коши.

Обозначим через множество



Положим


, ,
где крывая задано уравнением .


Теорема 2 Пусть функция удовлетворяющая уравнением Лапласа (1), и на части границы области выполняется неравенство


(30)
Тогда для любого и справедливы оценки


(31)
(32)
Proof. Из интегральной формулы Грина имеем:





(33)

Из условия (2) и неравенство (30) имеем

Оценки второго интеграла следует из теоремы 1, где определяется по формуле (11). Из (4) имеем:



Оценивая эти интегралы получим:



Переходя к полярным координатам имеем:



Так, как тогда,

и оценим второй интеграл:



Поэтому для имеет место следующая оценка:

Теперь оценим , где



Учитывая формулы (20) и (21) повторяя рассуждение доказательство теоремы 1 получим:



Поэтому справедливо



Из интегральной формулы (33) и условии (8) имеем:
(34)
где



Теперь выбирая из условия с уклонением находим и подставляя в (34) получим доказательство неравенство (31), т.е:



Далее докажем неравенство (32) при . Для этого находим производную из интегральной формулы (33) по переменным :


(35)
здесь
(36)




Это оценка следует из теоремы 1, где определяется по формуле (12). Из (36) и учитывая (16) на части границы области , оценивая получим:


(37)
Так, как:

Оценивая эти интегралы аналогично оценкам полученным при доказательстве теоремы 1 имеем:





(38)
Из интегральной формулы (35) и условий теоремы 1 и 2, а также учитывая (37), (38), получим:
Из условия выбирая , получим доказательство неравенство (32), когда :



Теперь докажем неравенство (32) при . Для этого находим производную из интегральной формулаы (33) по переменными .


(39)







здесь

Оценки второго интеграла следует из теоремы 1, где определяется по формуле (13). Учитывая (25) на части границы области , получим:
(40)
Точно также из получим:
(41)
Оценывая интегралы входящее в (41) имеем:



(42)
Из интегральной формулы (39) и условий теоремы 1 и 2, а также учитывая (40), (42) переходим к доказательству неравенствоа (32) когда .

Из условия выбирая , получим доказательство неравенство (32), когда ,т.е:

Теорема 2 доказано.
Положим


(43)