Акназар Бегдурдиевич Xасанов

Конструкция функции Карлемана. Пусть . Определим при функцию следующим равенствам.


(3)

Отделяя мнимую часть функции имеем

Обозначим



Тогда принимает вид:


(4)

В работе [9] доказано, что функция определенная равенствами (3) при представима в виде

(5)

где , -функция гармоническая по в включая . Отсюда следует, что функция для любого по является фундаментальным решением уравнения Лапласа. Следуя М.М. Лаврентьеву, фундаментальное решение с указанным свойством назовем функцией Карлемана для полупространства. Поэтому для функция и любого справедлива следующая интегральная формула Грина:

(6)

2 Формула продолжения и регуляризация по М.М. Лаврентьеву.

Обозначим


(7)
Теорема 1 Пусть функция на удовлетворяет условиям (2) и на части границы выполнено неравенство


(8)
здесь - положительное число.
Тогда для любого и справедливы оценки


(9)
(10)
где
(11)
(12)
(13)
Proof. Оценка (9) доказано в работе [9]. Докажем неравенство (10). При из (6) и (7) находим производную по :


(14)




Обозначим через разность производных



Отсюда из (8) следует






Неравенство (10) при следует из оценки:


(15)
Теперь докажем неравенство (15). Из (4) находим :


(16)
Пологая в (16) получим:





(17)
Теперь оценим следуюший интеграл:

Произведем оценку первого интеграла:

С учетом



имеем:

Также оценим второй интеграл.






где

Отсюда получим неравенство:


(18)
Далее вычислим производную:


(19)

причем и определяются из следующих формул:

(20)



(21)
Теперь оценим



Для этого положив в (19) имеем:


(22)
Учитывая, что является координатами единичной внешней нормали в точке границы , оценим (22).
Сначало оценим первый интеграл:



Аналогично оценивается второй интеграл:



где
С учетом полученных оценок имеем:
(23)
Учитывая (18) и (23) получим:



Неравенство (10) доказано при . Теперь докажем неравенство (10) при . Из (6) и (7) находим производную по :









Обозначим через разность производных:



Отсюда из (8) следует






Неравенства (10) при следует из оценки


(24)
Теперь докажем неравенство (24). Из (4) имеем:


(25)
Пологая в (25) находим:


(26)
Отсюда оценивая, получим:

Оценим первый и второй интеграл:

где



Учитывая эти оценки,получим:


(27)
Далее вычислим интеграл:
Отсюда при имеем:


(28)

Оценывая (28) получим:

Далее учитывая,что является координатами единичной внешней нормали в точке границы , получим:




Оценывая эти интегралы, имеем:







С учетом полученных оценок, имеем:


(29)

Из (27) и (29) переходим к доказательство неравенство (24),т.е:

.
Теорема 1 доказано.