Afin koordinatalar sistemasi

Fazodagi parallelogram va uchburchakning yuzalari.
Kollinear bo`lmagan ortonormallangan bazisda berilgan a = {x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>,z<sub>1</sub>} , b = {x<sub>2</sub>,y<sub>2</sub>,z<sub>2</sub>} vektorlardan tuzilgan parallelogrammning yuzi [ab]ga teng, ya`ni

Agar to`g`ri burchakli dekart koordinatalar sistemasida parallelogrammning uchta uchu
A(x₁,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₂) , C(x₃,y₃,z₃)
nuqtalarda joylashgan bo`lsa, u holda bu parallelogrammning yuzasi quyidagi formula bilan hisoblanadi:

Demak, uchlari A(x₁,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₂) , C(x₃,y₃,z₃)
nuqtalarda bo`lgan to`g`ti burchakli dekart koordinatalar sistemasida berilgan uchburchakning yuzasi quyidagi formula bilan hisoblanadi:
.
Tayanch iboralar.Vektor ko`paytma,aralash ko`paytma,vektorlarni paralellik sharti,papalellogramning yuzasi.
Savollar.
1.Vektor ko`paytmaga ta`rif bering.
2.Vektor ko`paytma xossalarini ayting.
3.Aralash ko`paytmaga ta`rif bering.
4.Aralash ko`paytma xossalari isbotlang.

15-mavzu. Tekislikda to`g`ri chiziq.

Reja.
1.Berilgan nuqtadan va berilgan yo`nalishga parallel o`tuvchi to`g`ri chiziq tenglamasi.
2.To`g`ri chiziqning umumiy tenglamasi.
3.To`gri chiziqning parametric tenglamasi.
4.Ikkita nuqtadan o`tuvchi to`g`ri chiziq tenglamasi.
Berilgan nuqtadan va berigan yo`nalishga parallel o`tuvchi to`g`ri chiziq tenglamasi.
To`g`ri chiziqning yo`naltiruvchi vektori deb, noldan farqli bu to`g`ri chiziqqa collinear bo`lgan ixtiyoriy vektorga aytiladi.
1-teorema.M₀(x₀,y₀) nuqtadan o`tuvchi va yo`naltiruvchi vektori a = {l , m} bo`lgan p to`g`ri chiziqning umumiy dekart koordinatalar sistemasidagi tenglamasi quyidagi ko`rinishda bo`ladi:
(1)
yoki
. (1`)
Isboti.Tekislikning ixtiyoriy M(x,y) nuqtani qaraymiz. M(x,y) nuqta p to`g`ri chiziqda yotadi agarda M₀M = {x-x₀,y-y₀} va {l , m} vektorlar collinear bo`lsa. Bu vektorlarning kollinearlik sharti quyidagicha bo`ladi:

yoki
.

1. 
   yoki (1`) tenglama to`g`ri chiziqning kanonik tenglamasi deyiladi.
   

To`g`ri chiziqning umumiy tenglamasi.
1-teorema.To`g`ri chiziq umumiy dekart koordinatalar sistemasida birinchi darajali tenglama orqali ifodalanadi:
Ax+By+C = 0 (1)
Isboti.To`g`ri chiziqning kanonik tenglamasini quyidagi ko`rinishda yozamiz:
mx-ly+ly<sub>0</sub>-mx<sub>0</sub> = 0.
m = A, -l = B, ly<sub>0</sub>-mx<sub>0</sub> = C deb olsak, u holda (1) tenglamaga kelamiz. a = {l , m} vector nol vector emasligidan A va B bir vaqtda nolga teng emas.
2-teorema.Ixtiyoriy birinchi darajali
Ax+By+C = 0
tenglama umumiy dekart koordinatalar sistemasida to`g`ri chiziq tenglamasi bo`ladi.

To`g`ri chiziqning yo`naltiruvchi vektori.

Oldingi mavzudan ma`lumki, agar to`g`ri chiziq umumiy dekart koordinatalar sistemasida

Ax +By +C = 0
umumiy tenglama bilan berilgan bo`lsa, u holda ixtiyoriy nol bo`lmagan { -B , A} vektorga kolleniar bo`lgan vector bu to`g`ri chiziqning yo`naltiruvchi vektori bo`ladi.
Teorema. a = { l , m} vector umumiy dekart koordinatalar sistemasida berilgan
Ax + By +C = 0
to`g`ri chiziqqa kolleniar bo`lishi uchun
Al + Bm = 0
shartni bajarilishi zarur va etarli.
Ax +By +C = 0 tenglama bilan berilgan to`g`ri chiziqning koeffisientlaridan tuzilgan n = { A , B } vector , bu to`g`ri chiziqning bosh vektori deyiladi.
To`g`ri chiziqning koordinatalar sistemasiga nisbatin joylashishi.
Ax +By +C = 0 to`g`ri chiziq Ox o`qiga kolleniar bo`ladi faqat va faqat agarda A = 0 bo`lsa, haqqiqatan ham, bu to`g`ri chiziqning { -B , A } yo`naltiruvchi vektori Ox o`qiga kolleniar bo`ladi faqat va faqar agarda uning ikkinchi koordinatasi nolga teng bo`lsa.
Agar Ax+By+C = 0 tenglama bilan berilgan to`g`ri chiziq Ox o`qiga kolleniar bo`lsa, u holda u By +C = 0 yoki y = b
(bunda b = -C/B) ko`rinishda bo`ladi.
Xuddi shunday, Ax +By +C = 0 to`g`ri chiziq Oy o`qiga kolleniar bo`lishi uchun faqat va faqat agarda B = 0 bo`lishini ko`rsatish mumkin, bu holda u Ax+C = 0 yoki x = a tenglama bilan beriladi.
Ax+By+C = 0 tenglama bilan berilgan to`g`ri chiziq koordinatalar boshidan o`tishi uchun C = 0 bo`lishi zarur va etarli.