Аэрология

II. ШАХТНАЯ АЭРОМЕХАНИКА
5. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ АЭРОСТАТИКИ
5.1. Основное уравнение аэростатики
Аэростатика — наука о равновесии газов (воздуха). Она иссле­дует условия, при которых воздух может находиться в неподвиж­ном состоянии-—состоянии равновесия. Одной из основных задач аэростатики является определение изменения давления неподвиж­ного воздуха с ростом высоты или глубины, а также условий рав­новесия находящегося в воздушной среде тела. Давление, рас­сматриваемое в аэростатике, называется аэростатическим; оно вызывается весом лежащих выше слоев воздуха. Основное уравнение аэростатики в проекциях на координатные оси имеет вид
dp - р (Xdx+ Ydy+ Zdz), (5-1)
где р — давление; р — плотность воздуха; Х_у У, Z — проекции объемной силы, отнесенной к единице массы, на координатные оси; х, у у г — координаты.
Если ось Ог направить вертикально вниз, то X=Y=0 и Z^g. Тогда уравнение (5.1) примет вид
dp^pgdz, (5.2)
где g — ускорение свободного падения.
Если начало координат расположить на дневной поверхности (в устье ствола), то давление на глубине z = h определяется ин­тегрированием уравнения (5.2) при граничных условиях 2 = 0 и р=Ро, т. е.
h
P = g\ pdz+ p_Q. (5.3)
о
Если в какой-либо выработке p = const или p^const, но ее можно характеризовать некоторой средней величиной, то из урав­нения (5.3) получим
P-Po + gph, {ВЛ)
где h — разность высотных отметок начала и конца выработки.
5.2. Формулы для определения атмосферного давления
В зависимости от термодинамического состояния воздуха его плотность изменяется с ростом глубины. Запишем уравнение га­зового состояния в виде
P-gpRT, (5.5)
где R — газовая постоянная, Т — абсолютная температура.
73

Проинтегрировав уравнение (5.2) при изменении г от 0 до ft и граничных условиях г = 0, р=р₀, Т = Т₀, Р = ро, с учетом уравне­ния (5.5) получим формулы для определения атмосферного дав­ления:
при изохорическом процессе
P = Po+gp_Qh; (5.6)
при изотермическом процессе
p = p₀exp(h/RT₀). (5.7)
Формула (5.7) наиболее проста и дает результаты, весьма близкие к результатам при адиабатическом и политропическом процессах. Формулы (5.6) и (5.7) позволяют определять аэроста­тическое давление в шахте на различной глубине. Как видно из этих формул, приращение статического давления не зависит от площади поперечного сечения столба воздуха, т. е. давление в вы­работке не зависит от площади ее поперечного сечения.
5.3. Определение равнодействующей сил давления
Согласно закону Паскаля, давление в данной точке воздуш­ной среды одинаково во всех направлениях, а изменение дав­ления в любой точке вызывает такое же изменение давления во всех других точках. Из закона Паскаля следует, что давление, воспринимаемое пластинкой, расположенной в данной точке про­странства, не зависит от ее ориентации в пространстве, т. е. дав­ления на одну и другую ее плоскости равны (рис. 5.1). Отсюда следует, что давление на все стенки выработки, расположенные на одной высоте, в неподвижном воздухе одинаково. Так как дав­ление действует по нормали к поверхности, то равнодействующая сил давления, приложенных к пластинке, равна нулю, т. е. аэро­статическое давление не может вызвать перемещения тела.
Рассмотрим силы, действующие на находящееся в воздушной среде инородное тело. Пусть это будет некоторый объем Q газа, имеющего плотность, отличную от плотности заполняющего гори­зонтальную выработку воздуха (рис. 5.2). В каждой точке по­верхности S этого объема по внутренней нормали к поверхности будет действовать сила, вектор которой равен р. Главный вектор всех сил будет равен
P=$pdS. (5.8)
S
Проекции главного вектора на оси координат (см. рис. 5.2) выразятся в следующем виде:
P_x=z fpcosadS;