11-мисол.
Тенгламалар тизимини Гаусс усулида ечинг:
11
3
3
2
4
4
9
2
3
z
y
x
z
y
x
z
y
x
.
Ечиш.
Гаусс усули берилган тенгламалар тизимидаги номаълумларни кетма-кет
йўқотишдан иборатдир. Бу усулни қўллаш осон бўлиши учун 1-чи ва 2-чи тенгламаларнинг ўрнини
алмаштирамиз.
11
3
3
2
9
2
3
4
4
z
y
x
z
y
x
z
y
x
.
Энди 2-чи ва 3-чи тенгламалардан
х
ни йўқотамиз. Бунинг учун биринчи тенгламани 3га
кўпайтириб, иккинчи тенгламадан, 2 га кўпайтириб, 3-чи тенгламадан айирамиз ва қуйидагига эга
бўламиз:
3
11
3
13
4
4
z
y
z
y
z
y
x
.
2-чи тенгламага 3-чи тенгламани қўшиб, 3-чи тенгламадан
z
ни йўқотамиз:
0
24
3
13
4
4
y
z
y
z
y
x
.
Охирги тенгламадан
0
у
эканлиги келиб чиқади. Бу қийматни 2-чи тенгламага қўйиб
z
ни
аниқлаймиз. Топилган
y
ва
z
ни 1-чи тенгламага қўйиб топамиз.
z
= 3,
х
= 1.
Шундай қилиб,
х
= 1,
у
= 0,
z
= 3.
2. Крамер усули
Ноъмалумлар сони тенгламалар сонига тенг бўлган қуйидаги чизиқли тенгламалар тизимини
қарайлик:
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
...
....
..........
..........
..........
..........
...
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
(3)
Элементлари номаълумлар олдидаги коэффициентлардан иборат
детерминатни
асосий
детерминант
деб атаймиз.
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
, (4)
детерминантда
x
j
номаълумлар олдидаги коэффициентлардан тузилган устунни озод ҳадлардан
иборат устун билан алмаштиришдан ҳосил бўлган детерминантни
j
x
билан белгилаймиз.
У ҳолда:Агар
0
бўлса, (3) тизим қуйидаги формулалар билан аниқланувчи ягона ечимга
эга:
n
x
n
x
x
x
x
x
,...,
,
2
1
2
1
.
1)
Агар
=
j
x
=0 бўлса, тизим чексиз кўп ечимга эга.
2)
Агар
= 0, ва
j
x
лардан ҳеч бўлмаганда биттаси нолдан фарқли бўлса, тизим ечимга
эга эмас.
12-мисол.
Тенгламалар тизимини Крамер усулида ечинг:
6
4
3
2
1
2
2
4
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Ечиш.
Асосий детерминантни ҳисоблаймиз:
,
0
9
4
3
2
2
1
1
1
1
4
демак, тенгламалар тизими ягона ечимга эга.
Δ
х
, Δ
у
и Δ
z
– ларни топамиз.
.
18
6
3
2
1
1
1
2
1
4
,
36
4
6
2
2
1
1
1
2
4
,
9
4
3
6
2
1
1
1
1
2
z
y
x
Бундан
.
2
9
18
,
4
9
36
,
1
9
9
z
z
y
x
y
x
3. Чизиқли тенгламалар тизимини тескари матрица ёрдамида ечиш.
Чизиқли тенгламалар тизими (3)-ни қарайлик ва қуйидагича белгилашлар киритайлик:
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
- тизимнинг матрицаси,
n
x
x
x
X
...
2
1
- номаълумлар устуни,
n
b
b
b
B
...
2
1
- озод ҳадлар устуни. У ҳолда (3) тизимни матрицавий тенглама кўринишида
қуйидагича ѐзиш мумкин:
АХ = В
. (5)
Фараз қилайлик
А
- хосмас матрица бўлсин, у ҳолда унга тескари
1
A
матрица мавжуд
бўлади. (5) тенгламанинг ҳар икки томонини
1
A
га чапдан кўпайтирайлик.
.
1
1
B
A
AX
A
Маълумки
,
1
E
A
A
у ҳолда
B
A
EX
1
,
X
EX
эканлигидан
.
1
B
A
X
Шундай қилиб, (5) – матрицавий тенгламанинг ечими,
А
матрицага тескари матрицанинг
(3) тизимнинг озод ҳадларидан иборат устун матрицага кўпайтмасига тенг экан.
13-мисол.
Тенгламалар тизимини тескари матрица ѐрдамида ечинг.
4
7
4
5
6
2
1
3
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Ечиш.
Тизимнинг матрицасини тузамиз.
7
4
5
1
1
2
1
3
1
А
Δ
А
= -51 ≠ 0, демак, тенгламалар тизими ягона ечимга эга.
А
-1
матрицани топамиз:
7
11
13
3
12
9
2
25
11
33
23
13
32
22
12
31
21
11
А
А
А
А
А
А
А
А
А
У холда
7
11
13
3
12
9
2
25
11
51
1
1
А
.
Агар
z
y
x
Х
В
,
4
6
1
„эканлигини эътиборга олсак, берилган тенгламалар тизими ечими
Х =
А
-1
В
бўлган
АХ = В
матрицавий тенгламага айланади.
Шундай қилиб,
,
1
1
3
51
51
153
51
1
28
66
13
12
72
9
8
150
11
51
1
4
6
1
7
11
13
3
12
9
2
25
11
51
1
Х
яъни
х
= 3,
у
= 1,
z
= 1.
Чизиқли алгебра бўлимидан топшириқ вариантлари
Вариант № 1
1.
Детерминантни ҳисобланг:
8
1
9
0
6
1 4
1
.
0
1
0
1
1
1 2
2
2.
3
0
4
2
2
3
1
1
2
A
ва
1 1
2
0
1
2
5
3
1
B
матрицалар учун
А
ВА
А
3
2
матрицали
кўпҳадни ҳисобланг.
3.
1
7
-
4
1
5
-
3
3
1
-
1
матрицага тескари матрицани топинг.
4.
Тенгламалар тизимини Гаусс усулида ечинг:
2
2
5
4
10
11.
5
3
5
9
x
y
z
x
y
z
x
y
z
5.
Тенгламалар тизимини матрицалар усулида ечинг:
2
2
5
4
10
11.
5
3
5
9
x
y
z
x
y
z
x
y
z
Вариант № 2
1.
Детерминантни ҳисобланг:
1
2
3
4
2
2
3
4
.
3
3
3
4
4
4
4
4
2.
1
0
1
2
1 2
1
1 2
A
ва
7 1
3
5
1
2
0
1
4
B
матрицалар учун
В
2
+
ВА
+2А матрицали кўп
ҳадни ҳисобланг
3.
4.
25
2
3
12
-
1
2
46
-
5
8
матрицага тескари матрицани топинг.
5.
Тенгламалар тизимини матрицалар усулида ечинг:
3
4
4
2
10
15
10
.
2
3
6
7
3
4
2
4
x
z
t
x
y
z
t
y
z
t
x
y
z
t
6.
Тенгламалар тизимини Гаусс усулида ечинг:
1
2
3
2
2
2
3
3
2
1
2
2
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Вариант № 3
1.
Детерминантни ҳисобланг:
1 1 4
1
2 1 3
0
.
3 1 2
1
4 1 1
0
2.
4
1
2
2
0
2
3
1 2
A
ва
1
0
3
1
2
4
1
2
4
B
матрицаларучун
А
ВА
А
2
2
матрицавий
кўпҳадни ҳисобланг
3.
3
1
6
2
3
6 .
5
1
27
матрицага тескари матрицани топинг.
4.
Тенгламалар тизимини Гаусс усулида ечинг:
2
5
6
3
2
3
2
4
10
3
0
x
y
t
x
y
z
x
y
z
t
y
z
t
.
5.
Тенгламалар тизимини матрица усулида ечинг:
3
2
3
3 .
2
3
0
x
y
x
y
z
x
y
z
Вариант № 4
1.
Детерминантни ҳисобланг:
2 1
1
1 1
1
3 1
1 1
.
1
1
4 1 1
1
1
1
5 1
1
1
1
1 6
2.
0
1
2
3
1
2
3 3 2
A
ва
1
3
0
2
2
4
3
1
1
B
матрицалар учун 2
А
2
+
ВА
+ 3
А
матрицали кўпҳадни
ҳисобланг.
3.
5
3 14
4
2
13 .
3
5
26
матрицага тескари матрицани ҳисобланг.
4.
Тенгламалар тизимини Гаусс усулида ечинг:
4
4
5
2
3
2
7 .
10
20
x
y
z
x
y
z
x
y
z
5.
Тенгламалар тизимини матрицалар усулида ечинг:
3
4
2
1 .
4
3
7
x
y
z
x
y
z
x
y
z
Вариант № 5
1.
Детерминантни ҳисобланг:
3
1 4
2
5
2
0
1
.
0
2
1
3
6
2
9
8
2.
3
1
0
2
1
3
5
1
2
A
ва
1
0
2
3
1
2
5
4
1
B
матрицалар учун
А
ВА
В
4
2
матрицали
кўпҳадни ҳисобланг.
3.
3
4
27
4
1
35 .
5
2
43
матрицага тескари матрицани ҳисобланг.
4.
Тенгламалар тизимини Гаусс усулида ечинг:
2
3
4
5
3
1
.
3
8
1
2
4
3
0
x
y
z
t
y
t
x
z
t
x
y
z
t
5.
Тенгламалар тизимини матрицалар усулида ечинг:
16
6
5
5
3
2
3
3
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Do'stlaringiz bilan baham: |