Абдукаримов А. Чизиқли ва векторлар алгебраси


 Матрицалар устида чизиқли амаллар



Download 1,08 Mb.
Pdf ko'rish
bet2/11
Sana22.04.2022
Hajmi1,08 Mb.
#573456
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
Bog'liq
chiziqli va vektorlar algebrasi

1. Матрицалар устида чизиқли амаллар. 
 
Матрицаларни қўшиш.
 
Бир ҳил 
n
m

ўлчамли 
А
ва 
B
матрицаларнинг йиғиндиси деб, ҳудди шундай ўлчамли 
C
матрицага айтиладики, бу матрицанинг ҳар бир элементи 
А
ва 
B
матрицаларнинг мос 
элементларининг йиғиндисидан иборат бўлади:
,
ij
ij
ij
b
a
c


,
,
1
m
i

n
j
,
1

1-мисол. 
2
3
1
1
0
4
2 8
A



 




ва 
1
4
0
1
2
2
5
7
B




 




матрицаларнинг йиғиндисини топинг.
Ечиш. 
Берилган матрицаларнинг бир хил жойда турган элементларини қўшиб,
С = А + В 
матрица элементларини ҳисоблаймиз. 
11
11
11
12
13
14
21
22
32
14
2 1 1;
3 4 1;
1 0 1;
1 1 0;
0 2 2;
4 2 2;
2 5 3;
8 7 15.
c
a
b
c
c
c
c
c
c
c
    
   
  
  
  
  
   
  
Шундай қилиб,С =
1
1 1
0
.
2
2
3 15
A
B


  



Матрицани сонга кўпайтириш. 
 
Матрицани сонга кўпайтириш деб, ўлчами берилган матрица ўлчамига тенг бўлган, 
ҳар бир элементи берилган матрица элементини берилган сонга кўпайтиришдан ҳосил бўлган 
матрицага айтилади.
2-мисол. 
 
Агар 



















4
1
3
2
3
4
,
2
0
1
1
3
2
В
А
бўлса, 5
А
– 2
В 
матрицани топинг. 
 
Ечиш.







































8
10
2
0
6
5
4
5
6
15
8
10
2
5
,
8
2
6
4
6
8
2
,
10
0
5
5
15
10
5
В
А
В
А










2
2
1
1
21
2

Шундай қилиб, 5
А
– 2
В










2
2
1
1
21
2

2. Матрицаларни кўпайтириш.
 
Ўлчами 
p
m

бўлган 
А
матрица ва улчами 
n
p

бўлган 
B
матрицаларнинг кўпайтмаси 
деб ўлчами 
n
m

бўлган шундай 
C
матрицага айтиладики, унинг ҳар бир элементи 
ij
С
қуйидаги 
формула билан аниқланади:





p
k
kj
ik
ij
n
j
m
i
b
a
c
1
.
,...,
1
,
,...,
1
,
Шундай қилиб, 
ij
c
элемент 
А
матрицанинг 
i
- чи сатрини 
B
матрицанинг унга мос 
j
- чи 
устунига кўпайтмасининг йиғиндисидан иборат экан.
Матрицаларни кўпайтириш амали коммутатив эмас, яъни 
.
BA
AB

Ҳақиқатдан ҳам, 
АВ
кўпайтма мавжуд бўлса, ўлчамлари тўғри келмаслиги сабабли 
ВА
кўпайтма умуман мавжуд 
бўлмаслиги мумкин. Агар 
АВ
ва 
ВА
лар мавжуд бўлса ҳам, уларнинг ўлчамлари ҳар ҳил бўлиши 
мумкин.
Бир ҳил ўлчамли квадрат матрицалар учун 
АВ
ва 
ВА
кўпайтмалар мавжуд ва улар бир ҳил 
ўлчамга эга бўлади, аммо умуман олганда мос элементлари тенг бўлмайди. 
3-мисол.
Қуйидаги матрицаларни бир-бирига кўпайтириш мумкинми ѐки йўқми? Шуни аниқланг. 
Агар кўпайтма мавжуд бўлса, уни ҳисобланг.













1
1
2
4
3
0
A
ва 







8
7
6
5
B
.
Ечиш. 
А
ва 
B
матрицаларнинг ўлчамларини таққослаймиз. 


2
3

A



2
2

B
. Бундан 
l
n


k
m

, шунинг учун 


2
3

AB
мавжуд, кўпайтма 
ВА
эса мавжуд эмас. 
АВ
 
кўпайтма элементларини топамиз:
(
ab
)
11
= 0 · 5 + 3 · 7 = 21; (
ab
)
12
= 0 · 6 + 3 · 8 = 24; (
ab
)
21
= 4 · 5 – 2 · 7 = 6;
(
ab
)
22
= 4 · 6 – 2 · 8 = 8; (
ab
)
31
= 1 · 5 – 1 · 7 = -2; (
ab
)
32
= 1 · 6 – 1 · 8 = -2. 
Шундай қилиб, 













2
2
8
6
24
21
AB

ВА
мавжуд эмас. 
 
4-мисол. 
Агар 
























4
2
1
1
0
1
2
3
,
1
1
1
3
0
1
2
2
B
A
бўлса,
АВ
ва 
ВА
 
ни топинг. 
Ечиш.
матрицаларни кўпайтириш мумкинми ѐки йўқлигини билиш учун уларнинг 
ўлчамларини аниқлаймиз.
A
[2×4], 
B
[4×2]. Бундан 
n = l = 
4, 
m = k = 
2, шунинг учун 
АВ
ва 
ВА
матрицалар мавжуд, 
ҳамда 
АВ
[2×2], 
BA
[4×4]. 


С = АВ
матрицанинг элементларини ҳисоблаш учун 
А
матрицанинг сатр элементларини унга 
мос булган 
В
матрицанинг устун элементларига кўпайтирилади.
с
11
= 2 · 2 + (-2)(-1) + 1 · 1 + 0 · 2 = 9 
(
А
нинг биринчи сатр элементларининг 
В
нинг биринчи устун элементларига 
купайтмасининг йиғиндиси; ҳисобланаѐтган элементнинг биринчи индекси 
А
матрицанинг сатрини, 
иккинчи индекси эса 
В
матрица устунини билдиради). 
с
12
= 2 · 2 + (-2) · 0 + 1 · 1 + 0 · 4 = 5; 
с
21
= -3 · 3 + 1 · (-1) + (-1) · 1 + 1 · 2 = -9; 
с
22
= -3 · 2 + 1 · 0 + (-1_ · 1 + 1 · 4 = -3. 
Шундай қилиб, 










3
9
5
9
AB
C

D = BA
матрица элементларини ҳисоблаѐтганда 
В 
нинг сатр элементлари
 
А нинг устун 
элементларига кўпайтирилади.
 d
11
= 3 · 2 + 2 · (-3) = 0;
d
12
= 3 · (-2) + 2 · 1 = -4;
d
13
= 3 · 1 + 2 · (-1) = 1; 
d
14
= 3 · 0 + 2 · 1 = 2;
d
21
= -1 · 2 + 0 · (-3) = -2;
d
22
= -1 · (-2) + 0 · 1 = 2; 
d
23
= -1 · 1 + 0 · (-1) = -1;
d
24
= -1 · 0 + 0 · 1 = 0;
d
31
= 1 · 2 + 1 · (-3) = -1; 
d
32
= 1 · (-2) + 1 · 1 = -1;
d
33
= 1 · 1 + 1 · (-1) = 0;
d
34
= 1 · 0 + 1 · 1 = 1; 
d
41
= 2 · 2 + 4 · (-3) = -8;
d
42
= 2 · (-2) + 4 · 1 = 0;
d
43
= 2 · 1 + 4 · (-1) = -2; 
d
44
= 2 · 0 + 4 · 1 = 4. 
Шундай қилиб, 





















4
2
0
8
1
0
1
1
0
1
2
2
2
1
4
0
BA
D

Транспонирланган матрица
деб, уларнинг жойланишлари сақланган ҳолда сатр ва 
устунларини алмаштиришдан ҳосил бўлган матрицага айтилади. Натижада 
А
матрицага нисбатан 
транспонирланган 
'
А
матрица ҳосил бўлади, унинг элементлари 
А
матрица элементлари билан 
қуйидаги 
муносабатда 
боғланади:
a′
ij
 = a
ji.
 
 
3. Детерминантлар. 
Иикинчи тартибли детерминант
деб, иккинчи тартибли квадрат матрица элементлари 
ѐрдамида аниқланувчи қуйидаги сонга айтилади.
21
12
22
11
22
21
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a





Детерминантнинг бош диагоналида жойлашган элементлар кўпайтмасидан, ѐрдамчи 
диагоналда жойлашган элементлар кўпайтмаси айирилади.
 
5-мисол.
.
23
15
8
)
3
(
5
8
1
8
5
3
1









Учинчи тартибли детерминант
деб, учинчи тартибли квадрат матрица элементлари 
ѐрдамида қуйидагича аниқланувчи сонга айтилади. 
.
32
23
11
33
21
12
31
22
13
31
23
12
32
21
13
33
22
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a











Бу формулани эслаб қолиш учун учбурчаклар қоидасидан фойдаланиш мумкин. У 
қуйидагилардан иборат:
кўпайтмаси детерминантга «+» белгиси билан кирувчи элементлар қуйидагича жойлашади: 
,
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Бош диагоналга симметрик бўлган иккта учбурчак ҳосил қилинади. Кўпайтмаси 
детерминантга «-» белгиси билан кирувчи элементлар ҳам, ҳудди шу каби, ѐрдамчи диагоналга 
нисбатан жойлашади.
.
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
6-мисол.
Детерминантни ҳисобланг.
1
1
2
4
0
1
5
3
2





Ечиш. 
3-чи тартибли детерминантни унинг қоидасидан фойдаланиб ҳисоблаймиз.
Δ = 2·0·(-1) + (-3)·(-4)·2 + 5·1·1 - 2·0·5 -1·(-4)·2 – (-1)·1·(-3) = 
= 0 + 24 + 5 – 0 + 8 – 3 = 34. 
Детерминантларнинг асосий хоссаларини беришдан олдин транспонирланган матрица 
тушунчасининг таърифини келтирамиз.

Download 1,08 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish