А. Теш абоев, С. Зайнобидцинов, Ш. Эрматов

х 
-
J 
x d w ( x ) -
j" 
x f ( x ) i l x
. 
(3.8)
x
тасодифий катталикнинг квадрати уртачаси куйидаги 
ифодалар буйича топилади:
| = 5 ] л y w ,
ё к н
|л--’ j =
J \ ■
’ ) ( x ) d x ■ 
( 3 . 9 )
Шунингдск, 
х
нинг 
F(x)
функцияси уртачаси \ам \исоблашипп 
мумкин:
_
 
к
F
= ^
F(x, )Wj
ёки
,=/ 
(3.10)
F =
J
F(x)f(x)dx
Жуда куп \олларда уртача ^ийматдан четланишларни 
Караш керак булади. Аммо, уртача четланиш ,\амма вак,т нол 
к,иймат беради:
--------------- 
-f -
+ — 
^—
(х
- 
х )
- 
! 
(X
-
x)f(x)dx
= 
J 
xf(x)dx - x j f(x)dx
= . v - x = 0 .
3.11) 
- + 
- + 
- +
Уртачадан четланиш квадратининг уртачасини тасодифий 
катталикнинг дисперсияси дейилади:
Av ? 
^ (л, 
x ) 2 \v, 
ни 
Ах 
2 - j
(х 
х ) 2 f ( \ ) d x .
( 3 - 1 2 )
Бу ифоданииг иккаласи \ам
А х 2
= 
( х
-
х ) ~ = х 2 
х
’ 
( 3 . 1 2 ’)
куриниппа келади.
Дисиерсиядан олинган квадрат илдплш , физик кап ал и к- 
лар кара.нанда, флуктуация дейилади;
55

---

| (Л- -
х ) 2 f ( x ) d x
(3 .1 3 )
3.2. Тансимот функциялари мисоллари
Статистиканннг асосий вазифаларидан бири тасодифий 
катталиклар так,симот функцияларини аник^пашдир. Биз бир 
неча мисоллар билан чегараланимиз.
1. 
Пуассон тацсимоти.
Бу та^симот, масалан, мазкур 
Хажмдаги молекулалар сони ёки муайян ва^тда бугланиб кет- 
ган зарралар микдорини тасвирлайди. Унинг куриниши:
w(x)=( а х /х!)е~а .
(3.14)
Бундаги 
а
тасодифий 
х
катталикнинг 
уртача 
х  
кийматларини ифодалайдиган узгармас сон: 
а = х .
2. 
Экспоненциал тацсимот
, Бундай так;симот, масалан, ра­
диоактив парчаланиш, релаксацион \одисалар, молекулалар 
сонининг 
баландлик 
буйича 
узгаришини 
текширилганда 
уринли булади. Унинг куриниши:
f(x)=const
е_ах 
(0 < х <°°)
(3.15)
Нормалаш шартидан const=oc, бинобарин,
f ix ) = J а е ~ аХ - ( 0 < х < оо 
да); 
( 3 . 1 5 1)
| о
( х , - ° ° < х < 0 
д а ),
-
1
Бундай так^симот учун 
х = —
,
шунинг учун
а
1 
- -
f ( х )
= — 
е х
(3.152)
х
3. 
Гаусс тацсимоти.
Бу такримот 
хатоликлар назариясида, газда тезлик- 
лар проекциялари такримланишида, 
броун \аракатида учрайди. Унинг 
куриниши:
- В х 2
f(x)=const
е
(3.16)
3.1-чизма. Экспоненциал 
так,симот графиги.
56

---

Нормалаш шарти 
c o n s t = j A
ни, уртачалаш 
х -
к,ийматларни беради ва узил-кесил Гаусс такримоти 
f i x ) =
1
(3.161)
2 п х ‘
куриниш ни олади.
4. 
Делта - функция.
8 (
х
-
а
'
о
) 
куринишда 
белгиланадиган 
бу 
функция х=хо ну^тадан 
бошк,а 
барча ну^таларда нолга тенг ва 1 
га нормаланган.
] б ( :
Бунда
.V о 
)dx
= 1, 
(3.17)
+оо
J 
F( x) 8( x - x 0 )dx
= 
F ( x ())
■
f i x ) = S ( x - x Q) .
3.2-чизма. Гаусс так^симоти 
графиги.
(3.18)
(3.19)
Бу 
курил ганлардан 
бошк^а 
ф ункциялар 
ва 
такримот 
к,онунлари математика ва физикада куп учрайди.
3.3. Бир неча тасодифий катталиклар учун тацсимот функцияси
Учта 
x ,y ,z
мустакдл тасодифий катталикнинг бир вактда 
dx,dy, dz
оралик^ларда булиш э\тимоллиги
d W(x,y, z)=d W (x)d W (y)d W (z)=f(x)f(y)f(z)dxdydz,
(3.20)
такримот функцияси
d W ( x , y , z )
f(x,y,z)=f(x)f(y)f(z)=
-
d x d y d z
(3.21)
n
та мустацил тасодифий катталиклар учун таксимот ф ункция­
си «-улчовли
fix ,у ,..., t)=f(x)f(y).. .f(t)
(3.22)
57

---

булади. Бу ф ункциялар учун олдингидек нормалаш шарти ёзи­
лади, уртача катталикларни топиш кридаларп уринли булади.
3.4. Максвелл так,симоти
Статистик ф изика тари- 
хида биринчи булиб М ак­
свелл идеал газ молекулала- 
рининг 
тезликлар 
буйича 
такримотини 
келтириб
чикдрган. Сунгра, Болцман 
бирор потенциал майдондаги 
идеал газни к,араб, Максвелл 
такримотини бу х,олга тад- 
бик^аган. Бу такримотлардан 
айрим \олларда каттик; жисм 
физикасида 
^ам 
самарали 
фойдаланилади. Ш у сабабдан бу такримотлгр билан таниш иш
керак булади.
Маълумки идеал газ молекулалари масофада узаро таъсир- 
лашмайдиган, тартибсиз \аракатдаги эркин зарралар булиб, 
улар тук,нашганлардагина эластик узаро таъсир юз беради. Газ 
мувозанатда деб \исоблаймиз.
Тезликлар фазосида молекулани тезлиги