А. А. Самарский, А. В. Гулин

Например, для матрицы второго порядка система (2) распадается на две
независимые системы
а 11*11 “Ь ^ 1 2 * 2 1 — 11 
а Пх
 12 "Ь
а 12х 22
—
И
021-*11
“Г 
а22х21
=
0
^
21*12
+ а
22*22
= 1 •
Для решения систем (3) используется метод Гаусса (обычный 
или с выбором главного элемента). Рассмотрим применение метода 
Гаусса без выбора главного элемента. Поскольку все системы (3) 
имеют одну и ту же матрицу 
А,
достаточно один раз совершить 
прямой ход метода Гаусса, т. е. получить разложение 
A = L U
и за ­
помнить матрицы 
L
и 
U.
Для этого, как мы знаем (см. § 1), тре­
буется сделать 
т (т 2
—
1
) /3 действий умножения и деления.
Обратный ход осуществляется путем решения систем уравнений
Ly{i) =
б(,), 
= (ylh yih
. . ., 
ymi)T,
(4)
Ux<'> = y(i), 
j =
1,2, . . . ,
m,
(5)
с треугольными матрицами 
L
и 
U.
Решение системы (5) при каж­
дом / требует 0,5 
т (т
—1) действий. Для решения системы (4) 
надо еще добавить 
т
делений на диагональные элементы матрицы 
L,
так что здесь потребуется 0 ,5 m (m + l) умножений и делений. 
Всего при каждом 
j
на обратный ход затрачивается 0,5
(т
— 1
)т +
+ 0 ,5 ( т +
\ ) т = т г
действий, а для всех / требуется 
т?
действий.
Можно сократить число действий, принимая во внимание спе­
циальный вид правых частей системы (4). Запишем подробнее пер­
88

---

вые 
j
—1 уравнений системы (4):
1цУи
= О,