А. А. Самарский, А. В. Гулин

Щ [ и , «] =
u/n 
vi
+1
(28)
являющимися аналогами определителя Вронского.
Л е м м а 1. 
Если функции щ, Vj линейно зависимы, то
ш; = 0 
для всех j<=J.
28

---

Действительно, согласно (27) для всех / е / выполняются ра­
венства
uja l+vja2 = 0,
Wj+iCCi~bO) + iC£2 — О,
(29)
где 
al
-f- 
а\фО.
Рассматривая (29) при каждом фиксированном' 
j
как однородную систему линейных алгебраических уравнений 
относительно а ь а 2 и учитывая, что 
al 
а\ ФО,
получим, что опре­
делитель 
Wj
этой системы равен нулю.
Для решений однородного уравнения (26) справедливо утверж­
дение, обратное лемме 1.
Л е м м а 2. 
Если uh v,
— 
линейно независимые решения одно­
родного уравнения
(26) 
и а}ф
0, 
Ь,ф
0 
для всех
/, 
то определитель
w}\_u,
и] 
не обращается в нуль ни в одной точке j<=J.
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем от противного. Предположим, 
что найдется точка /0е / , для которой 
wh\_a,
и ]= 0 . Рассмотрим си­
стему уравнений
« / . “ 1 + » / . “ 2 =
О,
« /о + 1 a i +
v io+1a 2 =
0
(30)
относительно неизвестных а (, а 2. Поскольку определитель этой 
системы равен нулю, существует нетривиальное решение {а!, а 2}. 
Образуем с помощью этого решения {at, ос2} функцию
Zj = a lu}+ a2Vj
(31)
и покажем, что 
zs =
0 для всех /.
Поскольку 
Uj
и 
Vj
— решения однородного уравнения (26), 
функция (31) также является его решением, т. е. удовлетворяет 
уравнению
ajZj-1— CjZj+ bjZj+l = 0. 
(32 )
Кроме того, согласно (30) выполнены условия 
zk = zh+l =
0.
По предположению коэффициенты 
а,, Ь,
отличны от нуля для 
всех /. Следовательно, для уравнения (32) можно рассмотреть за­
дачи Коши
с/
г/+1 = -
г / - ~ г/-1> 
/ = /о + 1, /о + 2, .. .,
2/о = г/о+1 = 0»
(33)
2/-i = —
г/ —
Ь,
. . .
2/+1> 
1
= /о> /о 
1 > /о 
2, . . .,
ai
ai
Z/ . = 2/.H = 0.
(34)
Из рекуррентных соотношений (33), (34) получаем, что 
2
^ = 0 
для всех / = 0, ± 1 , ± 2 , ... Последнее означает, что 
а щ ф а
2ц,= 0 
для всех /, причем 
al ф а2
2Ф0.
Следовательно, функции 
щ, v,
ли­
нейно зависимы, что противоречит предположению леммы 2.
29

---

С л е д с т в и е 1. 
Определитель
(28), 
составленный для двух
решений уравнения
(26), 
или тождественно по j равен нулю, или
отличен от нуля для всех
/.
Любая система из двух линейно независимых решений уравне­
ния (26) называется 
фундаментальной системой.
Т е о р е м а 1. 
Уравнение
(26) 
с а ф
0, 
Ь ф
0, / е / ,
всегда имеет
фундаментальную систему.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Фундаментальную 
систему 
образуют, 
например, решения 
щ
и о,- следующих задач Коши: