А. А. Самарский, А. В. Гулин

Напомним метод вариации постоянных на примере дифференциального урав­
нения
< /"М = - / ( * ) ■
(40)
Пусть 
и(х), ц ( х ) — линейно независимые решения соответствующего одно­
родного уравнения, т. е.
ц " ( * ) = 0 ,
и " ( х ) = 0 .
(41)
31

---

Будем искать решение неоднородного уравнения (40) в виде
t/(jc ) = a (x )« ( jc ) + P(jc)u(jc), 
(42)
где а ( * ) , Р (.г )— функции, подлежащие определению. Для нахождения функций
<х.(х), p(x) необходимо получить два уравнения. Первое из них получается из
требования, чтобы производная 
у'(х) имела вид
y ' ( x ) = < x ( x ) u ' ( x ) + $ ( x ) v ' ( x ) ,  
(43)
которое, очевидно, эквивалентно требованию
a ' ( x ) u ( x ) + f i ' ( x ) v ( x ) = 0 .  
(44)
Второе уравнение, связывающее 
а ( х )  и Р Д ) , получается в результате под­
становки (42) в исходное уравнение (40). Учитывая (43), (41), получим
у" {х) = аи" (х) + fir" (х) + а 1 (х) и ' ( х ) +  Р' (х) и' (х) = а ’ (х) и' (х) +  Р' (x)v'(x).
Следовательно, уравнение (40) будет выполнено, если
а ' ( х ) и ' ( х ) +  р ' ( . ф ' ( х ) = - / ( * ) .
Из системы уравнений (44), (45) найдем
f ( x ) v ( x )
о / 1 л  
— 
f (х) и Д)
а' (х)
и (лг) v' (х) — и' (х) v (х) ’
Р' М =
и {х) и' (х) —■
 
и' (х) V (х)