А. А. Самарский, А. В. Гулин

с + Y  — 4 ab
2 
Ь
с
Ц г = ~
V
сг — АаЬ
~2Ъ
(
10
)
уравнения (9) вещественны и различны. В этом случае разностное 
уравнение (7) имеет частные решения
,,(1) _ 
J
„(2) _ 
1
/.1
У! — Чи 
У i — Чг- 
( ‘ I)
Если 
c2<4ab,
то корни щ и 
q2
комплексно сопряжены. Функции
(11) и в этом случае являются решениями разностного уравнения
(7), однако удобнее представить 
qt
в тригонометрической форме: 
q{ = r
(cos ф + t sin ф), где
г
V АаЬ — с
2 
|/~аЬ
’
cos ф =
с
2
V a i> '
(
12
)
26

---

В качестве решений уравнения (7) можно взять функции 
У/1’ 
= r>
cos (/ер), 
y f = r>
sin (/ф).
Наконец, если 
c2=4ab,
то уравнение (9) имеет кратный корень 
q=c/(2b),
а разностное уравнение имеет частные решения
у
У =
я
', 
У?] = ]<]'■
 
О 3)
Построим теперь решение задачи Коши
ау;--су;+Ьу^1=0,
 
/ = 1 ,
2, ... ,
 
(14)
У
У i = p 2, 
(15)
исходя из найденных частных решений (11). В силу линейности и 
однородности уравнения (7) любая линейная комбинация
У/ — 
aiQi
 +
(16)
также является его решением. Подберем параметры а 4 и а 2 таким 
образом, чтобы удовлетворялись начальные условия (15):
а . + а 2 = P i, 
+ а
2
<
72
= Ц
2
. 
(17)
Решая систему (17), находим
„ _ _ Мт<7г — Иг 
„ __ Иг — Pi7i
ULj-- ---------- , 1*2 -- ----------
?2 — <71
(18)
Подставляя (18) в (16) и собирая коэффициенты при ц,, р2, по­
лучим, что решение задачи Коши (14), (15) в случае 
сг>4аЬ
имеет вид
<7
i
<72
М 
г) 
. 
. 
0
У / =
---------:—
:----------- Pi + :—
— Рг.
/ — 0 . 1 >2,
<72 — <71
<72 — <7i
(19)
где у,,2 определены согласно (10).
В таком же виде представляется и решение задачи Коши (14), 
(15) в случае 
c2
Заметим, что в этом случае
<7
г
?2 
(д [
1 —
7
' *) 
72 — 71
г / s i n ( ( / — 1) ф) 
s i n ср
_ r/_! sin (/ф)
q 2
—

s i n ф 
’
где 
г
и ф определены согласно (12). Поэтому решение задачи Коши 
можно записать в виде
у,
= -
ri
.sirli.O' —Л ф) Fi +
г/-1
sinj №). и 
(20)
sin ф 
sin ф
В случае 
c2=4ab,
используя частные решения (13), можно пред­
ставить решение задачи Коши (14), (15) в виде
У ;= -(/-1 )Ф р 1+ /У “1Р2, 
(21)
где 
q=c/{2b).
27

---

Аналогичным образом строится решение краевой задачи 
Щ-1— суз+Ьуш =
0, 
/ = 1, 2, 
N—
1,
У
О
М
-1» 
У 
N
2 •
Если 
с2=£АаЬ,
то
yi
= --------
7,
-----
7,
--------^ +
л-
я * - д [
Рг >
(
22
)
(23)
(24)
где 
quz
определены согласно (10).
Если же 
c2—4ab,
то
У/
= f 1 — ~ ) ?Vi +
~ Г (АЧ'%,
(25)
где 
q=cj(2b).
3. 
Однородное разностное уравнение второго порядка с пере­
менными коэффициентами. 
Для уравнения с переменными коэф­
фициентами (1) существует теория, аналогичная теории линейных 
дифференциальных уравнений, а именно: общее решение одно­
родного уравнения
a^j-x—
С;1/Д53'1/,-+1 = 0 
(26)
представляется в виде линейной комбинации двух его линейно не­
зависимых решений, а общее решение неоднородного уравнения 
(1) — в виде суммы частного решения неоднородного уравнения и 
общего решения однородного уравнения.
Изучим более подробно свойства разностного уравнения (26). 
Будем считать сейчас, что У = {0, ± 1, 
± 2 ,
т. е. уравнение
(26) определено для всех целых /. Заметим прежде всего, что если 
щ
и 
и,
— два решения уравнения (26), то и любая линейная ком­
бинация 
«1
tij+a^Vj
также является решением. Этот факт следует 
из линейности и однородности уравнения (26).
Для дальнейшего потребуются понятия линейной зависимости 
и линейной независимости функций, заданных на множестве 
1.
Две функции 
и,
и щ целочисленного аргумента / е / называются 
линейно зависимыми,
если существуют постоянные 
а и
к 2, одно­
временно не равные нулю и такие, что выполнено равенство
ai« j+ a2nj = 0 для всех / е / .
(27)
Если же из условия (27) следует, что 
а 1 = аг = 0,
то функции 
и., v}
называются 
линейно независимыми.
Линейная зависимость решений 
и}, v}
характеризуется значе­
ниями определителей