А. А. Самарский, А. В. Гулин

В [32, с. 450] доказана сходимость метода переменных направлений без тре­
бования перестановочности. При условиях (9), (10) доказана оценка
|| 
(Е 
тЛ2) 
( y k 
— у) I] «с р* Ц (Е 4- 
т
А 2) 
(у0 -
где константа р0 определена согласно (12).
■
У)
11.
Как мы видели ранее (см. § 1,2 гл. 3), операторы Ла, сс= 1, 2, 
являются самосопряженными в смысле скалярного произведения
.V -1
{У, v)
= 2
УчиЧня>
причем для них выполнены операторные неравенства (9), где
С 
тг 
• 
О
О = --- SHI"
Л2
л 
h 
.
— , А = -
Таким образом,при
h2
2 sin (п.1?)
К
2
h
2 я
-cosz
I л 
h
407

---

для погрешности будет справедлива оценка (11), (12), где
n2/t2
4
Число итераций 
па(е),
необходимых для достижения заданной 
точности е, в данном случае равно
Щ
(
8
) ^
1п(1/е) ^ 1п(1/е) 
4 
2 
nh
Это примерно столько же итераций, сколько и в попеременно­
треугольном итерационном методе. Однако число арифметических 
действий на каждой итерации здесь больше.
3. Случай прямоугольной области. В теореме 1 предполагалось, 
что спектр операторов 
A t
и 
А г
расположен на одном и том же от­
резке [б, Д]. Рассмотрим теперь случай, когда вместо (9) выпол­
няются условия
0 < ё а Е ^ А а^ А * Е ,
« = 1 . 2 ,
(20)
где б« и Да — заданные положительные числа (под ба и Да можно 
понимать наименьшее и, соответственно, наибольшее собственное 
значение оператора 
Аа).
Типичным примером является разностная 
аппроксимация уравнения Пуассона на прямоугольной сетке. В слу­
чае (20) используется двухпараметрический итерационный метод 
переменных направлений
— 1--- Ь 
A^k+%
+
АпЦк — f,
(21)
э
- - м ~
Ук—
+
А1Ук, %
,+ 
A2yk+i =
/. 
(22)
где, вообще говоря, T
i
#
t
2. Как и в теореме 1, можно доказать, что 
данный метод сходится при любых ^ > 0 , т2> 0 .
Оптимальные параметры щ и т2 задаются следующим образом. 
Пусть известны константы бь б2, Дь Д2 в неравенствах (20). Вы­
числим величины
/ (Лх-бр (Аз — б-2) \ 1/2 
/ Ai- б Д
At
\ (Д] + бг) (Д2 + 6l) / 
" 
1^2+ 6l/ ^1
и найдем
х — 
t
Д2 — Д з + ( Д 1 + Д г ) Р
„ 
г I • — 
Р
Р = ^ Т 7 * л = --------- i M i ---------’ * “ ' + - £Г
(23)
(24)
Нетрудно проверить, что 0 < ^ < 1 . Далее, определим
и, наконец, положим
„ _<7ш + г 
^ 
q — г