А. А. Самарский, А. В. Гулин

(l 
— 
0 /(1
+ 0 Для метода (21) — (23).
Из формулы (23) находим
Пусть, для определенности, 6±< б2, A
i
< A 2- Тогда получим
|, = 6, м „ b - j v ( l + i ) ( l + A ) > b .
Отношение числа итераций По1'(е) в методе (2), (3) к числу итера­
ций 
л[,2) 
(е) в методе (21) — (23) окажется равным
V
¥
‘
П?
(е) 
л?* («0
/(■+£
1 + ? ] > ' ■
Если, например, /2= 0 ,5 /,, 
h2= 0,5hi,
то получим 62= 4 б |, Дг=
= 4Д„ и, следовательно, л!,1’ (s)/n(02) (е) л; 2,5.
З а м е ч а н и е . Существенного ускорения сходимости можно добиться пу­
тем использования итерационного метода
У in-у, — У к
T (*+i)
ч
+
А Ук+'А
+
А Ук
= /■
Ук+1~~ Ук+'/,
т№+О
+ АУкту, + АУк+i — F
с переменными параметрами т ^ +1’, т^ +1', й = 0 , 1 , . . ,
п— 1. Способ выбора ите­
рационных параметров и оценки погрешности подробно изложены в [30, с. 463].
Отметим лишь, что в случае модельной задачи число итераций, необходимых для
достижения заданной точности е, является величиной О 11п — .
§ 5. Метод матричной прогонки
1. В в е д е н и е . 
Матричная прогонка относится к прямым методам 
решения разностных уравнений. Она применяется к уравнениям, 
которые можно записать в виде системы векторных уравнений
^оУо 
В аУ1
— 
F 0,
Aiiji-x — Ct y t
+ 
B i y U l
= — 
F it
/=1.2,..., 
N —
1, (1) 
Av*/,v-i — 
СыУм —
 — 
F
n
,
411

---

где У;— искомые векторы размерности 
М
, Д — заданные векторы, 
А и Bi, Ci
— заданные квадратные матрицы порядка 
М.
Матричная прогонка представляет собой обобщение обычной 
прогонки на случай системы векторных уравнений (1). По сравне­
нию с другими прямыми методами решения разностных задач ма­
тричная прогонка более универсальна, так как позволяет решать 
уравнения с переменными коэффициентами и не накладывает силь­
ных ограничений на вид граничных условий. Однако применение 
матричной прогонки к решению двумерных разностных задач стал­
кивается с двумя трудностями: неэкономичностью по числу дей­
ствий (т. е. большое время счета) и, главным образом, необходи­
мостью в больших ресурсах машинной памяти. Если же матрицы 
Ai, Ви Cf
имеют относительно невысокий порядок (как это бывает 
при аппроксимации систем одномерных дифференциальных урав­
нений), то матричная прогонка ничем не хуже обычной прогонки.
Прежде чем излагать алгоритм, покажем на простом прим:ере, 
каким образом двумерную разностную задачу можно привести к 
виду (1).