А. А. Самарский, А. В. Гулин

Найдем границу относительной погрешности при таком способе округления.
Пусть для записи мантиссы в ЭВМ отводится 
t двоичных разрядов. Предпо­
ложим, что надо записать число, представленное в виде бесконечной двоичной
дроби
а = ± 2Р
ai
2
02
22
а
/+1
2'+1
(4)
где каж дое из 
as равно 0 или 1. Отбрасывая все лишние разряды, получим
округленное число
а = ± 2Р
01 
Оо 
“/
— + — +
. . .
+ —
2 
22 
о'
Таким образом, для погрешности округления
а — а = ± 2Р
at 
+1 
at +
2
2^+i 
+ 2f+2
справедлива оценка
sg2p
1 / 
1
2 ^ ( 1 + Т
+ 22 + '' '
:2Р-
Д алее заметим, что из условия нормировки | М |^ 0 , 5 (см. (3)) следует, что
в разложении 
(4) 
всегда 
0
| 
=
1. 
Поэтому 
|а| 
^ 2
р
- 2_| = 2 р_1, 
и
 
для относитель­
ной погрешности округления получим оценку
При более точных способах округления можно уменьшить по­
грешность по крайней мере в два раза и добиться, чтобы выполня­
лась оценка
а — а
м
(
5
)
18

---

Итак, 
относительная точность в ЭВМ с плавающей запятой оп­
ределяется числом разрядов t, отводимых для записи мантиссы.
Можно считать, что точное число а и отвечающее ему округленное
число а связаны равенством
а= а(
1 + е), 
(6)
где
|e|sg;2- '. Число 
2~‘
называют иногда 
машинным эпсилоном.
Оно характеризует относительную точность представления чисел 
в ЭВМ. Для ЭВМ БЭСМ-6 имеем 
t=
40, 2 ~ '» 1 0 -12, т. е. относитель­
ная точность представления чисел составляет 12 десятичных 
знаков.
Соотношение (6) справедливо лишь в случае |а | 7^М0, где М0 — 
машинный нуль. Если же число 
а
мало, а именно |а |< Л 1 0, то по­
лагается а=0, что соответствует е = —1 в формуле (6).
3.