А. А. Самарский, А. В. Гулин

3. 
Требования к вычислительным методам. 
Одной и той же ма­
тематической задаче можно поставить в соответствие множество 
различных дискретных моделей. Однако далеко не все из них при­
годны для практической реализации. Вычислительные алгоритмы, 
предназначенные для быстродействующих ЭВМ, должны удовлет­
ворять многообразным и зачастую противоречивым требованиям. 
Попытаемся здесь сформулировать основные из этих требований 
в 
общих чертах. Далее в частях II и III книги эти требования кон­
кретизируются при рассмотрении алгоритмов численного решения 
типичных математических задач.
Можно выделить две группы требований к численным методам. 
Первая группа связана с адекватностью дискретной модели исход­
ной математической задаче, и вторая группа — с реализуемостью 
численного метода на ЭВМ. К первой группе относятся такие тре­
бования, как сходимость численного метода, выполнение дискрет­
ных аналогов законов сохранения, качественно правильное поведе­
ние решения дискретной задачи.
Поясним эти требования. Предположим, что дискретная модель 
математической задачи представляет собой систему большого, но 
конечного числа алгебраических уравнений. Обычно, чем точнее 
мы хотим получить решение, тем больше уравнений приходится 
брать. Говорят, что численный метод 
сходится,
если при неограни­
14

---

ченном увеличении числа уравнений решение дискретной задачи 
стремится к решению исходной задачи.
Поскольку реальная ЭВМ может оперировать лишь с конечным 
числом уравнений, на практике сходимость, как правило, не дости­
гается. Поэтому важно уметь оценивать погрешность метода в за­
висимости от числа уравнений, составляющих дискретную модель. 
По этой же причине стараются строить дискретную модель таким 
образом, чтобы она правильно отражала качественное поведение 
решения исходной задачи даже при сравнительно небольшом чис­
ле уравнений.
Например, дискретной моделью задачи математической физики 
может быть разностная схема. Для ее построения область измене­
ния независимых переменных заменяется дискретным множеством 
точек — 
сеткой,
а входящие в исходное уравнение производные за­
меняются на сетке конечно-разностными отношениями. В резуль­
тате получаем систему алгебраических уравнений относительно 
значений искомой функции в точках сетки. Число уравнений этой 
системы равно числу точек сетки. Известно, что дифференциаль­
ные уравнения математической физики являются следствиями ин­
тегральных законов сохранения. Поэтому естественно требовать, 
чтобы для разностной схемы выполнялись аналоги таких законов 
сохранения. Разностные схемы, удовлетворяющие этому требова­
нию, называются 
консервативными.
Оказалось, что при одном и 
том же числе точек сетки консервативные разностные схемы более 
правильно отражают поведение решения исходной задачи, чем не­
консервативные схемы.
Сходимость численного метода тесно связана с его коррект­
ностью. Предположим, что исходная математическая задача по­
ставлена корректно, т. е. ее решение существует, единственно и 
непрерывно зависит от входных данных. Тогда дискретная модель 
этой задачи должна быть построена таким образом, чтобы свой­
ство корректности сохранилось. Таким образом, в понятие 
кор­
ректности численного метода
включаются свойства однозначной 
разрешимости соответствующей системы уравнений и ее устойчи­
вости по входным данным. Под 
устойчивостью
понимается непре­
рывная зависимость решения от входных данных, равномерная 
относительно числа уравнений, составляющих дискретную модель.
Вторая группа требований, предъявляемых к численным мето­
дам, связана с возможностью реализации данной дискретной мо­
дели на данной ЭВМ, т. е. с возможностью получить на ЭВМ ре­
шение соответствующей системы алгебраических уравнений за 
приемлемое время. Основным препятствием для реализации кор­
ректно поставленного алгоритма является ограниченный объем 
оперативной памяти ЭВМ и ограниченные ресурсы времени счета. 
Реальные вычислительные алгоритмы должны учитывать эти об­
стоятельства, т. е. они должны быть экономичными как по числу 
арифметических действий, так и по требуемому объему памяти.