А. А. Самарский, А. В. Гулин

15

---

1. Представление вещественных чисел в ЭВМ. 
Одним из источ­
ников вычислительных погрешностей является 
приближенное 
представление вещественных чисел в ЭВМ, обусловленное конеч­
ностью разрядной сетки. Хотя исходные данные представляются 
в ЭВМ с большой точностью, накопление погрешностей округления 
в 
процессе счета может привести к значительной результирующей 
погрешности, а некоторые алгоритмы могут оказаться и вовсе не­
пригодными для реального счета на ЭВМ.
Напомним о способах представления чисел в ЭВМ и связанных 
с ними погрешностях округления. Более подробно этот круг во­
просов рассматривается в [6, 8, 15, 29].
При ручном счете пользуются десятичной системой счисления. 
Например, запись 103,67 определяет число
М 0 2 + 0-10Ч-3-10° + 6-10-1+ 7 -1 0 -2.
Здесь 10 — основание системы счисления, запятая отделяет 
дробную часть числа от целой, 1, 0, 3, 6, 7 — числа из базисного 
набора {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, с помощью которого можно пред­
ставить любое вещественное число.
ЭВМ работают, как правило, в двоичной системе, когда любое 
число записывается в виде последовательности нулей и единиц. 
Например, запись 0, 0101 в двоичной системе определяет число
0-20 + 0 -2 -‘+ 1.2 -2+ 0 - 2 - 3+1 -2-4.
Как двоичная, так и десятичная системы относятся к позици­
онным системам счисления. В 
позиционной системе с основанием
г
запись
а = ± а пап- ,
.. ,а 0, а_,а_2. .. 
(1)
означает, что
а = ±.(а„гп + ап_1гп~' + .. . + a0ra + a - tr-' + a ^ r
- 2+ ...) .
Будем считать далее, что 
г
— целое число, большее единицы. 
Каждое из чисел 
а{
может принимать одно из значений { 0 ,1 ,... 
. . . , г—
1}. Числа а, называются 
разрядами
, например: 
а3
— третий 
разряд перед запятой, 
а~2
— второй разряд после запятой.
Запись вещественного числа в виде (1) называется также его 
представлением в форме 
числа с фиксированной запятой.
В ЭВМ 
чаще всего используется представление чисел в форме 
с плаваю­
щей запятой,
т. е. в виде
a=Mrv,
(2)
где 
г
— основание системы счисления, 
р
— целое число (положи­
тельное, отрицательное или нуль) и
г-‘^ | М | < 1 .
(3)
Число 
М
представляется в форме числа с фиксированной запя­
той и называется 
мантиссой числа а.
Число 
р
называется 
поряд­
ком числа а.
В виде (2) можно единственным образом представить