А. А. Самарский, А. В. Гулин

Например, при 
т = 3 матрицы А ь Аг, D имеют вид
'0
0
0 “
'0
ап
а 13
аи
0
0 "
Аг — °21 0
0
» 
А2 
—
0
0
аЧ3
. 
D =
0
а22
0
- а31
а32
0.
_0
0
0 „
_0
0
Язз.
Представление системы (1) в форме (2) эквивалентно ее запи­
си в виде матричного уравнения
x = —D -lA ix—D~lA ix + D
- */.
Отсюда видно, что метод Якоби (3) в векторной записи выглядит 
следующим образом:
xn+i
= —ZJ-MiX"—£>-М
2
л
;
п
+ Д -
7
,
или, что то же самое,
(
8
)
DxnJrl+ ( A i-\-A1)x n = f.
83

---

*"+' = _ Z )-y i
1
A-n+
1
^ D - 4
2
*n+ D -7
или
(D + A l)x*+l+ A i*" = f.
(9)
М етод Зейделя (4) записывается в виде
Учитывая (7), методы (
8
) и (9) можно переписать соответст­
венно в виде
D
(
хп
« — 
хп)
+
Ах'1 = f,
(D +
(хп^ — хп)
+
Ахп = }.
(
10
)
(И)
Из этой записи видно, что если итерационный метод сходится, 
то он сходится к решению исходной системы уравнений.
Очень часто для ускорения сходимости в итерационные методы 
вводят числовые параметры, которые зависят, вообще говоря, от 
номера итерации. Например, в методы (10), (11) можно ввести 
итерационные параметры
T n + i
следующим образом:
D
Я
+1
+ A x * = f ,
уЛ-И __
rn
(DA-А,)-
------ -
— \- Ахп
= /.
Tn
+1
Способ выбора итерационных параметров выясняется при ис­
следовании сходимости. В теории итерационных методов сущест­
вует два круга вопросов: а) при каких значениях параметров ме­
тод сходится, б) при каких значениях параметров сходимость бу­
дет наиболее быстрой (соответствующие параметры называются 
оптимальными). В дальнейшем (см. § 4) мы подробнее остановим­
ся на этих вопросах в связи с конкретными итерационными мето­
дами.
Приведенные выше методы Якоби и Зейделя относятся к 
одно­
шаговым итерационным методам,
когда для нахождения 
хп+'
тре­
буется помнить только одну предыдущую итерацию 
хп.
Иногда ис­
пользуются и 
многошаговые итерационные методы,
в которых 
x'l+l
определяется через значения 
xh
на двух и более предыдущих ите­
рациях, т. е. 
xn+i = F[xn, хп~1, . . . , хп~‘\.
3. 
Каноническая форма одношаговых итерационных методов. 
На примере методов Якоби и Зейделя видно, что один и тот же 
итерационный метод можно записать многими различными спосо­
бами. Поэтому целесообразно ввести какую-то стандартную форму 
записи итерационных методов. Условимся прежде всего записы 
вать итерационный метод не в координатной форме, а в матричной, 
Теперь 
хп
будет обозначать вектор, полученный в результате 
п
-й 
итерации.