А. А. Самарский, А. В. Гулин

Т-1 --- --------- . 
--- ----------- •
1 - f роз 
1 — р ш
(25)
(20)
Имеет место следующий аналог теоремы 1.
408

---

Т е о р е м а 2. 
Пусть
Л = Л1+ Л 2, 
где
Л, 
и
Л2— 
перестановочные
самосопряженные операторы, удовлетворяющие условиям.
(20). 
Тогда для погрешности итерационного метода
(21) — (26) 
справед­
лива оценка
(11), 
где
Ро =
1 - / 1
1
+ 
/ 1
1 — 
t
1
 + *
(27)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Запишем уравнение для погрешности 
метода (21), (22) в виде
2(i+j 
— Szh,
(28)
где
S = ( £ +
т
2Л2) ( £ + т , Л ,) - 1 
(Е—
т2Л,) 
(Е—
т,Л2) .
Оценим собственные числа
а* (5) =
2 — тД fe] ((40 \
(
1 — тДйа ((42)
v 1 +
ti
^
a
, (-4г) / \ 1 + т2^£, ((42) 
оператора S. Для этого сделаем в (29) замену
Ч ( Л ) =
К - р
(Л
2
) — ■
h t + Р
Я - Л 'ь ' 
“ 
я
 + 'Ч
с 
не определенными пока параметрами 
р, q, г.
Тогда получим
М $ ) =
1 —
1 +
1 — СОЦ.^1
где
со.
(О,
1 -f- to2Xfei 
т2 +
г
(29)
(30)
(31)
q
— т 2р
q
+ Т2р
Если выбрать г, и т2 согласно (26), то получим, что (Oi = (o2 = co
h ( S ) =
1 — «А
fcl
1 — 
(йКи
(32)
1 -+■ (
o
AA
i
/ \ 1 +
!
Подберем теперь параметры 
р, q, г
таким образом, чтобы в ре­
зультате замены (30) оба отрезка
6а -0 
hka
(Ла) ^ Да, 
(X
= 1,2,
переходили бы в один и тот же отрезок
6 < Я * а < Д ,
а
= 1 , 2 .
Для этого достаточно потребовать совпадения граничных точек 
резков
6 — 
Р 
q
— 
г8
(33)
А —Р 
q
— гД
409
т. е. положить
я
S +
P 
g
-- Ult
1
К
°2>
P + /-S
— А
д + р _ д
а 1»
9 + гД 
^

---

Таким образом, приходим к системе четырех уравнений отно­
сительно пяти неизвестных 
р, q, г,
б, А. Положим для определен­
ности А = 1. Тогда после несложных, но громоздких выкладок, ко­
торые мы опускаем, получим, что решение системы (33) определя­
ется формулами (23), (24) и
б = - ^ - .
1 + <
Обращаясь к выражению (32) для собственного числа опера­
тора S, видим, что мы пришли к той же задаче, которая возникла 
при доказательстве теоремы 1, а именно: найти значение м, кото­
рое минимизирует ||S|| = max| 
\k (S)
| при условии, что 0 < б г ^
к
Согласно теореме 1 для этого достаточно
О) :
Кб ‘
и тогда получим ||iS ||< p0, где р0 =
\ - У %
1 +
V H
взять 
*
| = б = -|—
.Этим и завершается доказательство теоремы 2.
П р и м е р . Рассмотрим разностную аппроксимацию уравнения 
Пуассона в прямоугольнике 
G
с границей Г на прямоугольной сет­
ке с шагами 
h{
и 
h2: