А. А. Самарский, А. В. Гулин

Чтобы доказать последнее утверждение, достаточно построить пример на­
чальных данных, при которых погрешность итерационного метода убывает не
быстрее, чем 
q n ,
где с/ = 1— О (/г2) . Приведем такой пример. Пусть 
—
решение разностной задачи (2) и 
— приближенное решение, получен­
ное на 
п-й итерации с помощью метода Зейделя (10). Для погрешности z”(- = у ^-—
—у ц  получаем уравнение
_а,"’-1 _л_ ,n+i I 
. ,л+1
Zi+1,/ 
’zi/ I 
~r
21-,/ fi "Г zi,/-l = 0.
Zii
= 0,
iiSyft,
гЪ 
= У°ц-Уц-
Будем искать решение задачи (11) в виде
( И )
2Ц =
я Ч'
(
12
)
где 
q
— число, а 
а ц — сеточная функция, не зависящая от п и удовлетворяющая
нулевым граничным условиям. Подставляя (12) в (11) и сокращая на 
q n, полу­
чим систему уравнений
V i+
1
, i — l q V i i + q V i - i ,
j - l - C i ,
3 4 1
+
q v i
, j _ i =
 0 ,
X i j e c d f t ,
V i ; =  0, 
Xij<=\'h.
( 1 3 )
Система уравнений (13) представляет собой задачу на собственные значения.
Будем искать ее решение в виде
(14)
„<*) — С£+/„(Й 
v ij — sk
Нт/ •
383

---

где 
k = ( k l, k2), ka = l ,  2, 
N — 1, a = l , 2, 
— собственные функции пяти
точечного разностного оператора Лапласа,