А. А. Самарский, А. В. Гулин

_________
i
____
12
16
J T 
7 !
11 
_________ „_________
1
________
2
6
ю
14
1 
*)
'
I 
J  
I
й
13
Уи>—Унт—0, yo,—yNj—0, i,
/ — 1, 2, 
N
— 1.
На этом примере хорошо видны характерные особенности систем 
уравнений, возникающих при аппроксимации многомерных задач 
математической физики. Матрицы таких систем характеризуются
высоким порядком, сильной раз­
реженностью (т. е. преобладани­
ем нулевых элементов) и боль­
шим разбросом собственных чи­
сел.
Действительно, 
порядок си­
стемы (2) совпадает с числом то­
чек сетки соЛ и равен (
N
— I)2. 
Даже при /г = 0,1 имеем 
(N
— 1)2 =
= 81, т. е. матрица системы (2) 
является квадратной матрицей 81 
порядка. На более типичной сет­
ке, когда шаг Л=0,01, порядок 
системы равен примерно 10 000.
Сильная разреженность вид­
на из того, что каждое уравнение системы (3) содержит не более 
пяти отличных от нуля коэффициентов. Тем самым отношение чис­
ла ненулевых элементов данной матрицы к общему числу ее эле­
ментов не превосходит 5/ 
(N
— 1)2 =
О
(ft
2) .
Собственные числа матрицы, отвечающей системе (2), найдены 
в § 2 гл. 3. Для нас существенно сейчас, что отношение наимень­
шего собственного числа fi к наибольшему собственному числу 
равно
•V, 
„ 
nh
l = —
= tg2— .
7а 
2
Отношение | является величиной второго порядка малости при 
ft-»-0, а именно
? = ^
+ 0(/Д). 
(4)