А. А. Самарский, А. В. Гулин

In (1/(2в))
я 
h
Следовательно, метод верхней релаксации требует большего числа итераций.
Естественно требовать, чтобы погрешность в итерационного метода имела тот
ж е порядок А2, что и погрешность аппроксимации разностной 
схемы. Поэтому
положим е = 0 , 5
а  Л2, где а > 0 — постоянная, не зависящая от h. Тогда получим
«Е,в-г,'1(е)-«о (е)
In 1/(аЛ2)
nh
3. 
Применение чебышевского метода к разностным аппрокси­
мациям уравнений эллиптического типа. 
В случае более общих 
аппроксимаций уравнений эллиптического типа схема применения 
чебышевского метода остается той же, что и раньше, однако точ-
391

---

ные границы спектра 
и 
у2,
как правило, не удается найти в ана­
литической форме. Поэтому используют те или иные оценки для 
границ спектра.
В качестве примера рассмотрим аппроксимацию задачи Дирих­
ле для уравнения эллиптического типа
(
12
)
в прямоугольнике
G=
(ОСх^С/п, а = 1 , 2}.
На границе Г прямоугольника 
G
задано условие
и(хи x2) = \ i ( x u х2),
(х,, г
2
) е Г . 
(13)
Предполагаем, что при всех (л'ь ^ )
g
G выполнены неравен­
ства
(-^i, *¥
2
) 
Сг.а, 
^ — 1» 2, 
0 ^ d , ^ q ( x u x2) ^ d 2.
(14)
Введем в 
G
прямоугольную сетку Q с шагами Л, и 
h2
по направ­
лениям 
х„ х2
соответственно и обозначим
: 
ihlt х':р = jh2, 
хц
= (xi°, 
x f) ,
Я -
HiN \
/
1
, 
h2N 2
/
2
, 
yij—у
(-^а)»
i = 0, 1, ...,Л /„ у = 0, 1, 
. . . , N 2,
у
 и - « t - u
(агУ;)*,.и =
т -
У‘7
— 
а
1
,ц
“1 \ 
"1
(а
2
У х ) х
2
,
1
/ , 
\a
2
,i.
■•/+1
У и ^ - У ц
*2,11
hi
Уд ~Уц
- 1 
h*
Обозначим через 
7
сеточную границу, т. е. пересечение Q с грани­
цей Г.
Заменим исходную дифференциальную задачу (12), (13) раз­
ностной схемой второго порядка аппроксимации
Здесь
(а1
Ух)х,,д
+
(агУх)хьч &дУц
— 
/ 
iii
/ = 1, 2, . . . , yV2- l ,
Уа=цф
если 
Х
ц
^
у
.
d.j Q ij,
(15)
(16)
= 0 ,5 ( М 4 '\ 4") + М*Г
(Лч
4'')).
*2,1}
0,5 
(к2 (х\
(0
4") + 
к 2
(4°, 
х и 1)
))•
392

---

Покажем, что разностную задачу (15), (16) можно записать в 
операторной форме (1), где 
А
— самосопряженный оператор, и по­
лучим для этого оператора оценки вида (2).
Прежде всего заметим, что, изменив соответствующим образом 
правую часть уравнения (15), можно считать, что 
уи =
0 при 
х , ^ г{.
Таким образом, придем к эквивалентной (15), (16) системе урав­
нений
f a У-х) Хиц + (a2y-)x,jj — dayц --= — 
(17)
i = l , 2, 
W - 1 ,
} =
1, 2, . . . . W2— 1,
i/,j = 0, если 
х{^ у ,
(18)
где 
fij
отличается от 
ftj
только в приграничных точках сетки.
Рассмотрим пространство 
Н
функций, заданных на сетке О и 
обращающихся в нуль на 
у.
Определим в 
Н
скалярное произведение 
и норму
Л \—1