А. А. Самарский, А. В. Гулин

 = -
ип ~
 7
и’п
+
0
 И +
\ К
 +
Un J =
= - ип -
f '
и"п
+
\ К
+
ип
+
хи'п + 0
(**)).
216

---

т. e.”’t|j= 0 (
т2). Таким образом, метод (7) имеет второй порядок 
аппроксимации. Из результатов § 3 будет следовать, что он имеет 
и второй порядок точности.
Приведенные примеры представляют собой простейшие случаи 
разностных методов,
или, как их еще называют, 
разностных схем.
Методы Рунге
— 
Кутта
отличаются от разностных методов тем, что 
в них допускается вычисление правых частей 
f(t, и)
не только в 
точках сетки, но и в некоторых промежуточных точках.
П р и м е р 3. 
Метод Рунге
— 
Кутта второго порядка точности.
Предположим, что приближенное значение 
уп
решения исходной 
задачи в момент 
t = tn
уже известно. Для нахождения 
yn+i = y (tn+i)
поступим следующим образом. Сначала, используя схему Эйлера
Уп. + '/г 
Уп
0 ,5 т
— /
(tn, Уп),
(
8
)
вычислим промежуточное значение 
уп+ч„
а затем 
разностным уравнением
Уп+1
- У п
т
/ 
{tn
+ 0,5т, 
Уп+'л),
воспользуемся
(9)
из которого явным образом найдем искомое значение уп+1.
Для исследования невязки подставим промежуточное значение 
Уп+Чг=Уп +
0,5т/„, где /„ = /(/„, 
у п),
в уравнение (9). Тогда получим 
разностное уравнение
упп ~ yn _ f
+ 0(5т> 
уп
+ 0|5т/п) = 0| 
(Ш)
т
невязка которого равна
+f ( t n +
0,5т, 
ип
+ 0,5т
f (tn, ип)).
(11)
X
Имеем
^ .}.Г и1 = и'п + о,Ъхип + 0(т%
f
(tn
+ 0,5т, 
ип
+ 0,5т/ 
(tn, и
п)) = / 
(tn, ип)
-f
d f (t„, u„) \
+ 0, 5
t
n) + 0,5т/
(tn, ия) 
1Упд'и a,~) = f ( t n, un)
+ 0,5
t
«;‘ 
так как в силу (4) справедливо равенство
сРи _
d f
 
. 
г d f
~ d P ~ ~dt
 
+
 
'
 
Л Г ‘
Таким образом, метод (10) имеет второй порядок погрешности
аппроксимации, 
= 0 (
т2), и в отличие от (7) является явным.
Реализация метода (10) в виде двух этапов (8), (9) называется 
методом 
предиктор
— 
корректор
(предсказывающе-исправляю- 
щим), поскольку на первом этапе (8) приближенное значение пред­
217

---

сказывается с невысокой точностью 
0 (
т), а на втором этапе (9) 
это предсказанное значение исправляется, так что результирующая 
погрешность имеет второй порядок по т.
Тот же самый метод (10) можно реализовать несколько иначе. 
А именно, сначала вычислим последовательно функции
ki = f (tn, у„), k2 = j (t n+
0,5т, 
уп+
0,5т*!),
а затем найдем 
уп+1
из уравнения (уп+1—
yn)li = k2.
Такая форма реализации метода (10) называется 
методом Рун-
ге
— 
Кутта.
Поскольку требуется вычислить две промежуточные 
функции, /г, и 
k2,
данный метод относится к 
двухэтапным методам.
В следующем параграфе будут рассмотрены более общие т-этап- 
ные методы Рунге — Кутта, позволяющие получить большую точ­
ность.