A 5 minut davomida birorta ham mijoz kelmasligi ehtimoli qancha?

2.4. UZLUKSIZ TASODIFIY MIQDORLAR. TAQSIMOT VA

ZICH LIK FUNKSIYALARI

Uzluksiz tasodifiy miqdor uchun diskret tasodifiy miqdor kabi taqsimot qatorini aniqlab bo'lmaydi, chunki uzluksiz tasodifiy miqdor chekli yoki cheksiz oraliqning har bir qiymatini qabul qilishi mumkin va bunday qiymatlar soni sanoqsiz. Shu sabab uzluksiz tasodifiy miqdorlarni tasvirlashda va o'rganishda taqsimot va zichlik funksiyalaridan foydalaniladi.

Barcha -∞taqsimot funksiyasi deyiladi.

Taqsimot funksiyasisining xossalari

1. Taqsimot funksiyasining o'zgarish sohasi: :

2. X tasodifiy miqdorning (a;b) oraliqdan qiymat qabul qilish ehtimoli:

3. F(x) — kamaymaydigan funksiya, ya’ni agar bo'lsa,u holda

4. Quyidagi tengliklar o'rinli:

5. Uzluksiz tasodifiy miqdor uchun: ixtiyoriy a da bo'ladi va quyidagi tengliklar o'rinli :

X uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasidan olingan hosila tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi f(x) deyiladi:

Zichlik funksiyasining xossalari

1. F(x) — kamaymaydigan funksiya bo‘lgani uchun f(x)≥0 2. Zichlik funksiyasi berilgan bo‘lsa. taqsimot funksiyasi quyidagi tenglik orqali aniqlanadi:
3. X tasodifiy miqdorning (a;b) oraliqdan qiymat qabul qilish ehtimoli:

4. Zichlik funksiyasidan (a;b) oraliq bo‘yicha zichlik funksiyadan olingan integral birga teng:

Shunday qilib, tasodifiy miqdor o‘zining taqsimot funksiyasi F(x) yoki zichlik funksiyasi f(x) bilan bir qiymatli aniqlanadi.F(x_p) = p tenglik bilan aniqlanadigan x_p kattalik taqsimotning p—tartibli kvantili deyiladi.

0,5 — tartibli kvantil taqsimot medianasi deyiladi: med X = x_0.5

Agar zichlik funksiyasi maksimum nuqtaga ega bo‘lsa, f(x) funksiya maksimumga erishadigan x argumentning qiymati taqsimot modasi deyiladi.

Namunaviy masalalar yechish

1-masala. X tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi quyidagicha berilgan:

a) с koeffitsientni aniqlang;

b) X tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini toping

d) X tasodifiy miqdorning oraliqqa tushish ehtimolini toping.

Yechish:

a) с koeffitsientni quyidagi tenglikdan aniqlaymiz:

Bundan . Ikki marta bo‘laklab integrallasak .

Demak va zichlik funksiyasi quyidagi ko’rinishga ega

b) X ning taqsimot funksiyasini quyidagi formuladan topamiz:

d) ehtimollik esa quyidagicha aniqlanadi

2-masala. X tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi quyidagi ko‘rinishga ega (arksinus qonuni):

Quyidagilami aniqlang:

a) X tasodifiy miqdorning oraliqqa tushish ehtimoli;

b) x_0.75 kvantili;

d) X tasodifiy miqdorning f(x) zichlik funksiyasi;

e) taqsimotning moda va medianasini toping.

Yechish:

a) X tasodifiy miqdorning oraliqqa tushish ehtimoli;

b)shartga ko‘ra p=0,75; tenglamadan ekanligi kelib chiqadi.

d) X tasodifiy miqdorning f(x) zichlik funksiyasi quyidagicha:

1 ) (- a;a) oraliqqa tegishli barcha x lar uchun

2)qolgan x lar uchun nolga teng.

e) funksiya maksimumga erishmaydi, shuning uchun arksinus taqsimot qonuni modaga ega emas.

Medianani topish uchun f(x_0.75)=0.5 tenglamani yechamiz, ya’ni

Demak, med X=0

Mustahkamlash uchun masalalar

1.X tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasi bilan berilgan:

a)f(x) zichlik funksiyasini;

b) X ning (1; 2,5) oraliqqa tushish ehtimolini toping.

2. [0;l]da tekis taqsimlangan X tasodifiy miqdor quyidagi taqsimot funksiyasiga ega bo‘lsa, f(x) zichlik funksiyasini toping

3. Soliq to‘lovchilarning yillik daromadi taqsimot funksiyasi berilgan:

T asodifiy ravishda tanlab olingan soliq to’lovchi uchun 0,5 ehtimollik bilan oshiq bo‘lishi mumkin bo'lgan yillik daromad hajmini aniqlang.

4. Kompyuter qurilmasining buzilmasdan ishlash vaqtining taqsimot funksiyasi quyidagi ko‘rinishga ega (eksponentsial taqsimot):

a) T vaqt davomida buzilmasdan ishlash ehtimolini;

b) f(t) zichlik funksiyasini toping.

Javob:

5. Veybul taqsimot funksiyasi berilgan:

Ko'p hollarda bu taqsimot elektron apparatning ishlash muddatini xarakterlaydi.

a) f(x) zichlik funksiyasini;

b) p — tartibli taqsimot kvantilini ;

d) taqsimot modasini toping;

Jaob:

6. X tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi (Koshi qonuni) berilgan:

a) s va b o‘zgarmaslarni;

b) zichlik funksiyasini;

d) P(a < X < P) ehtimollikni toping.

Javob: c=1/2; b=1/p;

7. funksiya barcha haqiqiy sonlar X o’qida aniqlangan X tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi bo‘lishi uchun a parametr nechaga teng bo‘lishi kerak?

Javob:

8. X tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi berilgan:

a) A koeffitsientni;

b) F(x) taqsimot funksiyasini;

d) ehtimollikni toping.

9. X tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi berilgan

a) Noma’lum A koeffitsientni;

b) F(x) taqsimot funksiyasini toping

10. X tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi berilgan:

a) F(x) taqsimot funksiyasini;

b) X ning (0; π/4 ) oraliqqa tushish ehtimolini toping