9-mavzu. Funksiya limiti. Reja: Funksiya limitining Koshi va Geyne ta’riflari. Chap va o’ng limitlar

2. Chap va o’ng limitlar.
5-ta’rif. Agar

bo‘lsa,   son   funksiyaning   nuqtadagi chap limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.
Faraz qilaylik,   funksiya   to‘plamda berilgan,   nuqta   ning o‘ng limit nuqtasi bo‘lib, bo‘lsin.
6-ta’rif. Agar

bo‘lsa,   son   funksiyaning   nuqtadagi o‘ng limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.
Masalan,

funksiyaning 0 nuqtadagi o‘ng limiti 1, chap limiti –1 bo‘ladi.
3. Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari.
Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar ham yaqinlashuvchi ketma-ketlik singari qator xossalarga ega.
Faraz qilaylik,   funksiya   to‘plamda berilgan bo‘lib,   nuqta   ning limit nuqtasi bo‘lsin.
1-xossa. Agar   da   funksiya limitga ega bo‘lsa, u yagona bo‘ladi.
2-xossa. Agar
, (  – chekli son)
bo‘lsa, u holda   nuqtaning shunday     atrofi topiladiki, bu atrofda   funksiya chegaralangan bo‘ladi.
3-xossa. Agar

bo‘lib,   bo‘lsa, u holda   nuqtaning shunday   atrofi topiladiki, bu atrofda

bo‘ladi.
4-xossa. Agar
, 
bo‘lib,   da   tengsizlik bajarilsa, u holda  , ya’ni

bo‘ladi.
5-xossa. Faraz qilaylik,
,   
limitlar mavjud bo‘lsin. U holda
a)
da  ;
b)

v) 

g) Agar   bo‘lsa,

bo‘ladi.
2-misol. Quyidagi limitlarni hisoblang:

Yechish. (a) Ko’rinib turibdiki, kasrning surat va maxraji h 0 ga intilgnda 0 ga intiladi. Kasrning surat va maxrajini ifodaga ko’paytirib, irratsionallikdan qutqaramiz va o’xshash hadlarni ixchamlaymiz

Barcha (va h≥−1) berilgan funksiya ifodaga teng bo’lib, u h 0 ga intilgnda ga intiladi.
(b) x =4 bo’lganda ko’rinishdagi aniqmaslik hosil bo’lgani uchun kasrning suratini kopaytuvchilarga ajrataylik.

Barcha x≥0 uchun ko’paytma o’rinli.

(*) qoidani yana qo’llab


4. Ajoyib limitlar

Yoy sinusining shu yoyga nisbatining limiti:

Bu tenglik birinchi ajoyib limit deb yuritiladi.
Bunday tenglik yordamida trigonometrik funksiyalar qatnashgan ko`pchilik limitlar hisoblanadi.
1-teorema.   o`zgaruvchi miqdor   da 2 bilan 3 orasida yotuvchi limitga ega.
Ta’rif.   o`zgaruvchi miqdorning   dagi limiti e soni deyiladi.
; e soni irratsional son: e=2, 7182818284...
2-teorema. x cheksizlikka intilganda   funksiya e limitga intiladi, ya’ni  .
_, - esа ikkinchi аjоyib limit dеb nоmlаnаdi.
Bundan tashqari quyidagi umumiy holdagi formulalarni keltirib o’tamiz:
1. bunda bo’lganda f (x) .
2. bunda bo’lganda (x) 0.
3.

3-misol. Ushbu

limit hisoblansin.
Ma’lumki,  . Shuni hisobga olib topamiz:

. ►