9-amaliy mashg‘ulot

1-ta’rif. tasodifiy miqdorning taqsimot zichligi
(1)
ko‘rinishda bo‘lsa, u normal qonun bo‘yicha taqsimlangan deb ataladi. Bu yerda va lar normal taqsimotni parametrlari, - matematik kutilishi, - o‘rtacha kvadratik chetlanishi.
funksiyani bo‘lganda

funksiya quyidagi xossalarga ega:

1. 
   Bu funksiya butun son o‘qida aniqlangan, uzluksiz va musbat.
   
2. 
   Bu funksiya juft va, demak, o‘qiga nisbatan simmetrik.
   
3. 
   dan gacha kamayuvchi, dan gacha o‘suvchi.
   
4. 
   da grafigi o‘qqa asimtotik yaqinlashadi.
   
5. 
   nuqtada funksiya ga teng bo‘lgan yagona maksimumga
   

ega ning ortishi bilan maksimumning qiymati kamayadi, bu funksiya grafigi va abssissalar o‘qi bilan chegaralangan yuza 1 ga teng bo‘lganligi ortishi bilan zichlik egri chizig‘i yassilanib boradi, u asta – sekin o‘qqa yaqinlashadi, kamayishi bilan esa zichlik egri chizig‘i o‘qining kichik qismida o‘qining maksimumi atrofida yuqoriga cho‘ziladi, keyin esa unga ( o‘qqa) tez tortiladi.
6. Funksiya grafikdan, agar bo‘lsa qadar o‘ngga, agar bo‘lsa, va parametrli normal taqsimot normalangan normal taqsimot deb ataladi. Uning zichligi

ga teng. Bu funksiyaning qiymatlari jadvali tuzilgan.
taqsimot zichligi va taqsimot funksiyasi orasidagi bog‘lanishdan quyidagiga egamiz:
(2)
Ushbu
(3)
funksiya Laplas funksiyasi deb ataladi.
Laplas funksiyasi quyidagi xossalarga ega:

1. 
   bu funksiya butun son o‘qida aniqlangan va uzluksiz;
   
2. 
   bu funksiya toq, demak, uning grafigi koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik;
   
3. 
   funksiya butun son o‘qida o‘suvchi;
   
4. 
   
   

funksiya qiymatlari jadvali tuzilgan. Normal taqsimlangan tasodifiy miqdorning integraldagi qiymatini qabul qilish ehtimoli:

bu yerda (3) formula bilan aniqlanadigan Laplas funksiyasi.
Chetlanishni ehtimoli.
Ko‘p hollarda normal taqsimlangan tasodifiy miqdorni chetlanishini ni absolyut qiymati bo‘yicha biror sondan kichik qiymat qabul qilishini baholashga to‘g‘ri keladi, ya’ni



tengsizlikning ro‘y berish ehtimolini topish talab qilinadi. Bu tengsizlikni quyidagi ikkilangan tengsizlik bilan almashtiramiz:

bu tengsizlikning hamma tomoniga ni qo‘shsak,

qo‘sh tengsizlikni hosil qilamiz.
Demak,

(Bu yerda funksiyani juftligi hisobga olindi).
Shunday qilib,
.
Agar bo‘lsa,
.
Bu ehtimol ga bog‘liq bo‘lmasdan oraliqni uzunligiga, to‘g‘ri proporsional va o‘rtacha kvadratik chetlanish s ga teskari proporsionaldir.


1-misol. Normal taqsimlangan tasodifiy miqdor ni matematik kutilishii 20 ga, o‘rtacha kvadratik chetlanishi 5 ga teng. Tajriba natijasida shu tasodifiy miqdorlarni oraliqqa tushish ehtimoli topilsin.
Yechilishi. Shartga ko‘ra

2-misol. Normal taqsimlangan tasodifiy miqdor ni matematik kutilishi 10 ga, o‘rtacha kvadratik chetlanishi 3 ga teng. Chetlanishni absolyut qiymati bo‘yicha 4 dan kichik bo‘lish ehtimoli topilsin.
Yechish. formuladan foydalanamiz. Shartga ko‘ra bo‘lgani uchun
.
ni kitobni oxiridagi 2-ilovadan topamiz. .
.