9-amaliy mashg`ulot. Qo‘shma fazolar. Ikkinchi tartibli qo‘shma fazolar. Refleksivlik 1-ta’rif

4-misol. fazoning refleksiv emasligini isbotlang.
Yechish : Teskarisini faraz qilaylik. U holda chekli variatsiyali funksiyalar fazosi da aniqlangan har bir uzluksiz chiziqli funksional fazosidagi biror funksiya orqali aniqlanishi kerak, ya’ni

Demak,

bunda da funksionalga mos keluvchi chekli variatsiyali funksiya.
Quyidagi funksionalni qaraylik :

Bu funksionalning chiziqli ekanligi ravshan, uzluksizligi quyidagi baholashdan kelib chiqadi :


Bundan tashqari, , shuning uchun da uzluksiz funksiya mavjud bo’lib, tenglik o’rinli bo’ladi.
Endi, da funksiyani qaraylik. Bu funksiya da uzluksiz bo’lganligidan, . Biroq ikkinchi tomondan,

Bu ziddiyatdan fazoning refleksiv emasligi ko’rinadi.
5-misol. fazoning ikkinchi qo’shma fazosini toping.
Yechish. Dastlab fazoning qo’shma fazosi fazosiga izomorf ekanligini ko’rsatamiz. Buning uchun fazosida quyidagi vektorlarni aniqlaymiz:


Natijada har bir elementni

ko’rinishda yozish mumkin, bunda
Aytaylik, bo’lsin. U holda

bunda va
Endi sonini boshqa ko’rinishda ham yozish mumkin ekanligini ko’rsatamiz. Buning uchun sonlarni korinishda aniqlaymiz. Har bir sonini tayinlab, nuqtani quyidagicha saylab olamiz: bo’lganda bo’lganda . U holda . Natijada

ning ixtiyoriyligidan, kelib chiqadi, ya’ni . Demak, har bir elementi uchun qator absoly ut yaqinlashuvchi va
(1)
Demak, agar bo’lsa, u holda ixtiyoriy uchun (1) o’rinli, bunda , va . Yuqoridagidek, sonini tayinlab nuqtani saylab olamiz: bo’lganda bo’lganda ( sonlari yuqorida aniqlandi). U holda va

Bundan

va da
.
Har bir element (1) formula yordamida fazosida biror uzluksiz chiziqli funksionalni aniqlaydi. Shu bilan birga,

Demak, .
Endi fazoning qo’shma fazosi fazosiga izomorf ekanligni ko’rsatamiz. bo’lsa, u holda
(2)
Formula fazoda chiziqli funksionalni aniqlaydi.
ning uzluksizligi

ya’ni
(3)
tengsizligidan kelib chiqadi.
Endi fazoda har bir uzluksiz chiziqli funksional (2) ko’rinishda ekanligini isbotlaymiz.
fazosida quyidagi vektorlarni qaraylik:
.
U holda elementni

ko’rinishda yozish mumkin va uchun
.
bo’lsin. U holda

bunda

dan . Demak
(4)
(3) va (4) dan kelib chiqadi, ya’ni .
Yuqoridagilardan quyidagi xulosaga kelamiz, ,