9-amaliy mashg`ulot. Qo‘shma fazolar. Ikkinchi tartibli qo‘shma fazolar. Refleksivlik 1-ta’rif

Ikkinchi qo’shma fazolarga doir misollar



1-misol. fazoga ikkinchi qo’shma fazo ekanini ko’rsating.
Yechish : Hilbert fazosida element quyidagicha ifodalanadi :
(1)
Bu yerda .
fazodan ixtiyoriy chiziqli funksional olamiz. chiziqli funksionalni yuqoridagi elementga ta’sir ettirib quyidagi ifodani hosil qilamiz :


yuqoridagi tengsizlikda da limitga o’tib, quyidagi tengsizlikka ega bo’lamiz :

(2)
(2) tengsizlikni ikkinchi tomonini isbotlash uchun element olamiz.


Bu yerda da limitga o’tib,

ni hosil qilamiz.
elementga chiziqli funksionalni ta’sir ettirib,



Bundan ko’rinadiki
ekanligini yuqoridagi kabi ko’rsatish mumkin. Ixtiyoriy Hilbert fazolari refleksiv ekanligidan ,
2-misol. fazoga ikkinchi qo’shma fazo ekanini ko’rsating.
Yechish : Bu misol 1-misolning xususiy holi bo’lib, da o’rinli.
Demak, ,
3-misol. ning ikkinchi qo’shma fazosi ekanini ko’rsating.
Yechish. Biz element olamiz.

Bu yerda . Bundan ko’rinadiki

Biz quyidagicha elementga yaqinlashuvchi ketma-ketlik olamiz.

Chunki
.


fazodan chiziqli funksional olamiz. -uzluksiz. Shuningdek,

Bilamizki,

Maxsus ketma-ketlik olamiz : . Bunda


Ravshanki, va

Hamda ixtiyoriy da
Shunday qilib,





Demak,
Endi ning qo’shma fazosi ekanini ko’rsatamiz.
element olamiz. Har bir elementni shu fazoning bazisi orqali quyidagicha ifodalash mumkin.



element uchun norma

ko’rinishda kiritiladi.
element uchun esa norma

bo’ladi.
fazodan chiziqli funksional olamiz. Bu funksionalni quyidagicha yozib olamiz.

Bu yerda . Ravshanki, . Bundan kelib chiqib,

uchun, biz quyidagiga ega bo ‘lamiz.


ga ko’ra biz quyidagini topamiz :

Yuqorida biz ekanini ko’rsatgan edik. Bundan ko’rinadiki
Demak,
Xullas, va ekanidan