9-7-btus-20 guruh talabasi 3-kurs talabasining oliy matematika fanidan mustaqil ishi bajardi: Radjabova A. A reja

Ta’rif (H.E.Heine). Berilgan f funksiya a nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo’lsin.
Agar argumentning a nuqtaga yaqinlashuvchi istalgan xn ketma-ketligi uchun funksiyaning unga mos f(xn) qiymatlar ketma-ketligi f(a) ga yaqinlashsa, f funksiya a nuqtada uzluksiz deyiladi.
Uzluksizlikning Koshi bo’yicha ta’rifi esa quyidagicha o’qiladi.
Ta’rif (Koshi (A.L.Cauchy)). Berilgan f funksiya a nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo’lsin. Agar ixtiyoriy ε > 0 uchun shunday δ > 0 topilsaki, argument x ning

shartni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida

tengsizlik o’rinli bo’lsa, f funksiya a nuqtada uzluksiz deyiladi.

Albatta, f funksiyaning biror nuqtadagi uzluksizligi ta’rifida argument qiymatlarining bu nuqtadan farq qilishini talab qilishga zaruriyat yo’q. Bundan buyon, agar biror funksiya E to’plamning har bir nuqtasida uzluksiz bo’lsa, biz, qisqa qilib: funksiya E to’plamda uzluksiz deymiz.
Uzilish nuqtaning turlari.
Ta’rifga ko’ra, agar a nuqtaning biror atrofida aniqlangan f funksiya uchun

tenglik bajarilmasa, bu a nuqta f funksiyaning uzilish nuqtasi deyilar edi.

Uzilish nuqtani, bu tenglik bajarilmasligi sabablariga qarab, turlarga ajratish mumkin.
Eng sodda hol - bu qachonki chap tomondagi limit mavjud bo’lib, biror b songa teng bo’lsayu, lekin b f(a) bo’lsa. Bu holda, agar funksiyani a nuqtada b ga teng qilib o’zgartirsak, ya’ni

desak, bu funksiya a nuqtadan tashqari barcha nuqtalarda f(x) funksiya bilan ustma-ust tushsada, lekin u, f funksiyadan farqli ravishda, a nuqtada uzluksiz bo’ladi. Shunday qilib, qaralayotgan holda berilgan funksiya qiymatini a nuqtada o’zgartirish yordamida uzilishni bartaraf qilish mumkin ekan. Shu sababli bunday uzilish nuqta bartaraf etiladigan uzilish nuqta deyiladi.

Ta’rif. Berilgan f funksiyaning E ⊂ D(f) to’plamda qabul qiladigan barcha qiymatlar to’plami E to’plamning aksi deyiladi va