9-7-btus-20 guruh talabasi 3-kurs talabasining oliy matematika fanidan mustaqil ishi bajardi: Radjabova A. A reja

x · sign x = |x|, |x| · sign x = x, x ∈ R .
Navbatdagi misolda funksiyalarning umuman antiqa ko’rinishga ega bo’lishini ko’rishimiz mumkin.
4 - misol. Dirixle funksiyasi quyidagicha aniqlanadi:

3. Funksiyalarni o’rganishda ularning grafigi (ya’ni koordinatalar tekisligining funksiya bilan bog’liq bo’lgan muayyan qismiy to’plami) muhim rol o’ynaydi. Eslatib o’taylik, agar x ∈ R va y ∈ R bo’lsa, R² koordinatalar tekisligi deganda biz barcha tartiblangan (x, y) juftliklar to’plamini tushunar edik. Tartiblangan (x, y) juftlikni tekislikning nuqtasi, x va y sonlarni esa uning koordinatalari deb ham atashadi. Birinchi koordinatani ba’zan abssissa va ikkinchisini esa - ordinata deyishadi.

f : E → R funksiyaning grafigi deb quyidagi:
Γ(f) = {(x, f(x)) ∈ R², x ∈ E}
ko’rinishda aniqlangan Γ(f) ⊂ R 2 to’plamga aytiladi.
Boshqacha aytganda, f funksiyaning grafigi - bu koordinatalari y = f(x) munosabat bilan bog’langan barcha (x, y) juftliklar to’plamidir. Odatda funksiya grafigini doskada tasvirlaganda, abssissalar o’qini gorizontal ravishda chizib, mus bat abssissalik nuqtalar manfiy abssissalik nuqtalardan o’ngda joylashtiriladi, ordinatalar o’qini esa vertikal ravishda chizib, musbat ordinatalik nuqtalar manfiy ordinatalik nuqtalardan yuqorida joylashtiriladi. Bunday tanlashda funksiyalarning grafigi odatda silliq egri chiziqlardan iborat bo’lib, agar har bir shunday egri chiziqni istalgan vertikal to’g’ri chiziq bilan kessa, to’g’ri chiziq va grafik oshib borsa bir marta kesishadi. Masalan, 1 - misolda ko’rilgan ko’phadlar shunday grafikka ega.Grafiklar silliq chiziq bo’lsada, cheksizlikka ham ketib qolishi mumkin. Masalan, 2 - misolda ko’rilgan ratsional funksiyalar grafigi ana shunday xossaga ega.Ba’zi funksiyalar grafigi uzilgan (odatta uzilishga ega bo’lgan deb ataladi) egri chiziqdan iborat bo’ladi. Misol tariqasida 3 - misolda qaralgan funksiya grafigini olish mumkin. Nihoyat, Dirixle funksiyasi shunday grafikka egaki, uni qog’ozda eskiz ravishda ham tasvirlash qiyin. Bu grafik to’g’risida biroz tassavurni quyidagi rasm beradi: 3.000.
Funksiyalarning eng muhim xossalaridan biri- ularning uzluksizligidir. Uzluksiz funksiyalar
to’g’risida geometrik tasavvurni uzluksiz deb ataladigan egri chiziqlar berishi mumkin, ya’ni shunday egri chiziqlarki, ularni chizganda qalam qog’ozdan ko’tarilmaydi. Oddiy qilib aytganda, grafigi uzluksiz egri chiziqdan iborat bo’lgan funksiya uzluksiz funksiyadir.
Albatta, bu yerda keltirilgan mulohazalar faqatgina intuitiv bo’lib, ularni matematik ma’noda qat’iylashtirish ancha murakkabdir. Odatda uzluksiz funksiyalar limit qiymat tushunchasi orqali ta’riflanadi. Biz ham ana shu yo’lni tanlaymiz.Avval misol tariqasida quyidagi ratsional funksiyani qaraylik:

Bu funksiya maxraji nolga aylanadigan ikki x = 1 va x = −1 nuqtalardan tashqari barcha nuqtalarda aniqlangan bo’lib, f(1) va f(−1) ifodalar esa ma’noga ega emas. Shunday bo’lsada, agar x = 1 nuqtaning atrofida bu funksiya qiymatlariga e’tibor bersak, f(1) ga biror ma’no berishimiz mumkin bo’ladi. Haqiqatan, yetarlicha kichik α sonni olib, x = 1 + α deylik. U holda

Endi, agar α nolga intilsa, ya’ni x = 1 + α birga intilsa, f(x) qiymatlar ga intiladi. Shuning
uchun biz sonni f funksiyaning x = 1 nuqtadagi limit qiymati deyishimiz mumkin.