8-мавзу. Статистик ва корреляцион боғланиш. Регрессия тенгламаси таянч сўз ва иборалар

4-мисол. Берилган жадвалдан фойдаланиб, танланма шартли ўртачани топинг.

X Y	3	4	6	7	8	ny
8	5	3	-	-	-	8
12	3	4	5	4	2	18
15	-	3	3	6	2	14
nx	8	10	8	10	4	n40

Ечиш: Ҳисоблашларни қуйидаги жадвалга жойлаштирамиз:
Белгилар орасидаги корреляцион муносабатлар (боғланишлар) тўғри, тескари, тўғри чизиқли ва эгри чизиқли бўлиши мумкин. Масалан, тўғри корреляцион боғланишда белгилардан бирининг ортиши (камайиши) бошқасининг ўртачаси ортишига (камайишига) олиб келади, тескари боғланишда эса акцинча ва ҳ.к. Масалан, дарахтнинг ёши X ортиб бориши билан дарахтдаги халқалар сони Y ортиб боради, ҳавонинг ҳарорати X пасайиши билан нафас олиш тезлиги Y камаяди ва ҳ.к.

Y нинг X га корреляцион боғлиқлиги деб, y_x шартли ўртачанинг х га

функционал боғланишига айтилади: y_x  f x( ) Бу тенглама Y нинг X га регрессия танланма тенгламаси (баъзида Y нинг X га регрессия тенгламаси), f x( ) функция эса Y нинг X га танланма регрессияси (баъзида регрессия функцияси) деб аталади. Бу тенглама графиги эса Y нинг X га регрессия танланма чизиғи (баъзида Y нинг X га регрессия чизиғи) дейилади.

24. 
    белгининг Y белгига регрессия танлама тенгламаси ва регрессия
    

танлама чизиғи ҳам юқоридагига ўхшаш аниқланади: x_y ( )y .
Корреляция назарияси белгилар орасидаги боғланишни ўрганиш жараёнида асосан қуйидаги икки масалани ҳал қилади.
1-масала. Белгилар орасидаги корреляцион боғланиш формасини аниқлаш, яoни регрессия функциясининг кўринишини (чизиқли, чизиқсиз ва ҳ.к.) топиш.
Агар f x( ) ва ( )y регрессия функцияларининг иккаласи ҳам чизиқли бўлса, у ҳолда X ва Y белгилар орасидаги корреляцион боғланиш чизиқли, акц ҳолда эса чизиқсиз дейилади.
2-масала. Корреляцион боғланиш зичлигини (кучини) аниқлаш.

24. 
    белгининг X белгига корреляцион боғланишиининг зичлиги X x
    

қийматга мос Y нинг мумкин бўлган қийматлари y_x  шартли ўртача атрофида тарқоқлиги даражасини баҳолайди.
Регрессия танланма тенгламаси

y_x  f x( )
кўринишда ёзилиб, агар f x( ) регрессия чизиқли бўлса, у ҳолда X ва Y белгилар орасидаги корреляцион боғланиш чизиқли деб аталар эди. Биз мана шу чизиқли корреляцион боғланишни атрофлича ўрганиб чиқамиз. Бунинг учун (X Y, ) жуфтликнинг сонли белгилари системасини ўрганамиз. Бунда икки: 1) маълумотлар группаланмаган; 2) маълумотлар группаланган ҳолларни алоҳида-алоҳида қарашимиз керак бўлади.
1) Танланма устида ўтказилган n та эркли тажриба натижасида олинган маълумотлардан (x y_i, _i ) i 1,2,3,...,n сонлар жуфтлиги кетмакетлиги ҳосил қилинган бўлиб, бу маълумотларни группалаш шарт бўлмасин, яoни X белгининг турли х қийматлари ва уларга мос Y белгининг y қийматлари бир мартадан кузатилган бўлсин. Бундай ҳолатда шартли ўртача тушунчасидан фойдаланиш шарт эмас. Шунинг учун изланаётган

y_x  kx b
танланма регрессия тўғри чизиғи тенгламасини қуйидагича ёзишимиз мумкин y  kx  b
Бу тенгламадаги бурчак коеффицентни _yx билан белгилаб, уни Y нинг X га регрессия танланма коеффиценти деб атаймиз. Шундай қилиб, Y нинг X га тўғри чизиқли регрессия танланма тенгламасини
Y _yx x  b (1)
кўринишда излаймиз.
Бу тенгламадаги номаълум _yx ва b коеффицентларни шундай танлашимиз керакки, натижада кузатиш маълумотлари бўйича топилган (x y_i , _i ) нуқталарни XOY текисликка жойлаштирганимизда бу нуқталар мумкин қадар (1) тўғри чизиқнинг яқин атрофида ёцин. Бундай талабни
бажаришдан олдин Y_i  y_i ифода билан аниқланадиган четланиш тушунчасини киритиб оламиз, бу ерда Y_i  (1) тенгламадан x_i қийматга мос келувчи ордината; y_i эса x_i га мос кузатилган ордината. Номаълум _yx ва b коеффицентларни шундай танлаймизки, четланишлар квадратларининг йиғиндиси энг кичик, яoни ^minY_i  y_i ² бўлсин (номаълум _yx ва b
_i i
коеффицентларни топишнинг бу усули энг кичик квадратлар усули деб аталади).
Ҳар бир четланиш номаълум _yx ва b коеффицентларга боғлиқ бўлгани учун четланишлар квадратлари йиғиндисининг функцияси F ҳам бу коеффицентларга боғлиқ бўлади: F(_yx , )b Y y_i  _{i }² . Бу функциянинг
i
минимумини топиш учун номаълум параметрлар бўйича хусуц ҳосилаларни ҳисоблаб нолга тенглаштирамиз (ҳозирча _yx ўрнига  ёзиб турамиз):
F n
  2i_n1 (xi  b y xi ) i  0, ^ ^Fb  2i1 (x_i  b y_i )  0.
Бу системада элементар алмаштиришлар бажариб , b ларга нисбатан қуйидаги тенгламалар системасини оламиз:
  n x_i2  n bxi  n xyi i ,
 in1 i1 n i1 (2)
^i1x nb_i   i1 y_i.
Бу системадан изланаётган параметрларни топамиз (ёзивда ихчамлик учун i индекцларни тушириб қолдирамиз):
(3)
n xy^{ } x y n x
_yx _ 2 2 _{, b}   ² 2y xx xy2 n x  x n x 