8-мавзу. Статистик ва корреляцион боғланиш. Регрессия тенгламаси таянч сўз ва иборалар

10-мисол. Корреляцион жадвал маълумотлари асосида y_x  ax bx c²   кўринишдаги Y нинг X га регрессия танлама тенгламасини топинг.

X Y	1	1,1	1,2	ny
6	8	2	-	10
7	-	30	-	30
7,5	-	1	9	10
nx	8	33	9	n50

Ечиш: Корреляцион жадвал маълумотлари асосида қуйидаги жадвални тузамиз.

тенгламалар системасини ҳосил қиламиз:
74,98a67,48b60,89c 413,93, 67,48a60,89b55,10c 373,30, ^60,89a55,10b50c 337,59.
Бу системадан a1,94, b 2,98, c1,10 йечимларни топамиз. У ҳолда регрессия тенгламаси

y_x 1,94x² 2,98x1,10

кўринишда бўлади. Текшириш учун тенглама бўйича ҳисобланган y_x нинг

қийматлари билан жадвал бўйича топилган y_x нинг қийматларини таққослаш мумкин.
Юқорида келтирилган бошқа турдага эгри чизиқли регрессия тенгламаларининг коеффисиентларини топишда ҳам энг кичик квадратлар усулидан фойдаланиш мумкин, аммо баъзи ҳолларда олдин маълум бир алмаштиришларни амалга ошириш зарур. Масалан, y  ax^b (a  0,b  0) регрессия тенгламасидаги номаълум a b, коеффисиентларни топишда авваламбор бу тенгламани ln ylna b x ln кўринишда ёзиб оламиз, сўнгра u ln ,x z ln y белгилашлар ёрдамида z bu  lna чизиқли функцияни ҳосил қиламиз.
Баъзи амалий масалаларда иккита эмас, балки иккитадан кўпроқ белгилар орасидаги боғланишни ўрганиш зарурияти туьилади. Бу ҳолда белгилар орасидаги корреляцион боғланиш тўпламий (кўплик) корреляция деб аталади.
Тўпламли корреляциянинг энг содда ҳоли бўлган учта белги орасидаги чизиқли корреляцияни қараймиз. Бу ҳолда X , Y ва Z белгилар орасидаги корреляцион муносабат z  ax  by  c (10)
тенглама кўринишида ифодаланади. Бунда қуйидаги:

1. 
   Кузатиш маълумотлари бўйича регрессиянинг a b c, , номаълум коеффицентларни топиш, яoни z  ax  by  c танланма тенгламани топиш;
   
2. 
   Z белги билан иккала Y ва Z белгилар орасидаги боғланиш зичлигин баҳолаш;
   
3. 
   Y фикцирланганда (ўзгармаганда) Z ва X орасидаги, X фикцирланганда Z ва Y орасидаги боғланиш зичлигини топиш масалаларини ҳал қилиш зарур.
   

Биринчи масала энг кичик квадратлар усули билан ҳал қилинади.
Аналитик геометриядан маълумки, (10) чизиқли боғланиш тенгламасини:

z z a x x     b y y  
кўринишда ёзиб олиш мумкин. Бу кўринишда эса 1-масалани ҳал қилиш осонроқ.
Баъзи элементар ҳисоблашлардан сўнг a ва b коеффицентлар учун қуйидаги формулаларни топамиз:
rxz1r ryz xy z , b ryz r ryx zx2 z . a 2 1rxy y
rxy x
Бунда r_xz,r_yz,r_xy  мос равишда X ва Z , Y ва Z , X ва Y белгилар орасидаги корреляция коеффицентлари; _x, _y, _z ўртача квадратик четланишлар.
Z белгининг X ва Y белгилар билан боғлиқлиқ зичлиги қуйидаги:
rxz²  2r r rxy xz yz ryz²
R 2 , 0 R 1
1r_xy
умумий танланма корреляция коеффиценти билан баҳоланади.
Шунингдек, Y фикцирланганда (ўзгармаганда) Z ва X орасидаги, X фикцирланганда Z ва Y боғланиш зичлиги мос равишда:
rxz y   rxz 2 r rxy yz 2 , ryz x   ryz 2 r rxy xz 2
1r_xy 1r_yz  1r_xy 1r_xz 
хусуц танланма корреляция коеффицентлари билан баҳоланади.
Табиатда турли-туман жараёнларни ўрганишда, тасодифий жараёнларнинг ўзаро боғлиқлик қонунларини очишда, ҳамда умуман прогнозлаш масалаларида корреляцион ва регрессион анализнинг хулосалари катта аҳамиятга эгадир. Хусусан, иқтисодий жараёнларни тадқиқ этишда турли иқтисодий кўрсаткичларнинг бир-бирига боғлиқлигини аниқлаш ва шу асосда муҳим хулосалар чиқаришда корреляция назарияси муваффақиятли татбиқ этиб келинмоқда.
Адабиётлар рўйхати
1. Жамес Т.МcCлаве, Террй Синcич. Статистиcс., Пеарсон Эдуcатион, Инc. 2013. 904 п.

1^ James T.McClave, Terry Sincich. Statistics., Pearson Education., Inc. 2013. pp. 576-586.