8-mavzu katta sonlar qonuni. Markaziy limit teorema. Chebishev tengsizliklari. Erkli tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun katta sonlar qonuni. Chebishev va bernulli teoremalari. BIR XIL TAQSIMLANGAN TASODIFIY MIQDORLAR UCHUN Markaziy limit

8-MAVZU
KATTA SONLAR QONUNI. MARKAZIY LIMIT TEOREMA. CHEBISHEV TENGSIZLIKLARI. ERKLI TASODIFIY MIQDORLAR KETMA-KETLIGI UCHUN KATTA SONLAR QONUNI. CHEBISHEV VA BERNULLI TEOREMALARI. BIR XIL TAQSIMLANGAN TASODIFIY MIQDORLAR UCHUN MARKAZIY LIMIT TEOREMA. LYAPUNOV TEOREMASI. LAPLAS TEOTEMASI.
Эҳтимоллик ва статистика оммавий тасодифий борлиқларни ўрганадиган фан бўлиб, Эҳтимоллар назариясининг лимит теоремалари тасодифийлик билан зарурат ўртасида боғлиқлик ўрнатади. Оммавий тасодифий борлиқларда пайдо бўладиган қонуниятларни ўрганиш келажакдаги тажрибалар натижаларини илмий жиҳатдан башорат қилиш имконини беради. Қаерда тасодифийлик бўлса, у ерда эҳтимоллар назарияси қонунлари ишлайди. Ижтимоий ҳаётимизнинг барча соҳаларида, айниқса иқтисодий кўрсаткичларни башорат қилишда, кузатилаётган тасодифий миқдорнинг тақсимоти кўриниши тўғрисидаги тахминларни илмий жиҳатдан текшириш ва етарлича эҳтимоллик (кафолат) билан тасдиқлаш йўлларини топиш фаннинг нақадар кенг спектрдаги масалаларни ечишда етарлича инструментларга эга эканлигини кўрсатади. Биржа савдолари, суғурта соҳасида эҳтимоллар назарияси усуллари беқиёс ҳисобланади. Техниканинг турли жабхаларида, айниқса дастурлаш технологияларида тасодифийликка боғлиқ бўлган дастурлар, масалан турли хил ўйинлар дастурида эҳтимоллар назарияси усулларидан кенг фойдаланилади.

2. 
   Эҳтимоллар назариясининг лимит теоремалари мазмуни
   

Эҳтимоллар назарияси лимит теоремалари иккита гуруҳга бўлинади, уларнинг биттаси катта сонлар қонуни деб ном олди, иккинчиси эса марказий лимит теоремалар деб ном олган. Катта сонлар қонуни айрим тасодифий миқдорларни уларнинг тақсимот қонунларидан қатъий назар маълум бир лимит қийматларга яқинлашиш саволларига тегишлидир. Марказий лимит теоремалар эса тасодифий миқдорлар йиғиндиси тақсимотининг лимит қонунларига тегишли теоремаларни ўз ичига олади.
Катта сонлар қонуни деб ном олган теоремалар: Чебишев тенгсизлиги, Чебишев теоремаси, Бернулли теоремасини кўриб чиқамиз.

1. 
   КАТТА СОНЛАР ҚОНУНИ
   

Маълумки, тасодифий миқдор синаш якунида мумкин бўлган қийматлардан қайси бирини қабул қилишини аввалдан ишонч билан айтиб бўлмайди, чунки у ҳисобга олиб бўлмайдиган бир қанча тасодифий сабабларга боғлиқ бўлиб, биз уларни хисобга ололмаймиз. Ҳар бир тасодифий миқдор ҳақида ана шу маънода жуда кам маълумотга эга бўлганимиз учун етарлича катта сондаги тасодифий миқдорлар йиғиндиси тўғрисида ҳам бирор нарса айта олишимиз қийиндек кўринади. Аслида эса бу ундай эмас. Бирор нисбатан кенг шартлар остида етарлича катта сондаги тасодифий миқдорлар йиғиндисининг тасодифийлик характери деярли йўқолар ва у қонуниятга айланиб қолар экан. Амалиёт учун жуда кўп тасодифий сабабларнинг биргаликдаги таъсири тасодифга деярли боғлиқ бўлмайдиган натижага олиб келадиган шартларни билиш жуда катта аҳамиятга эга, чунки бу ҳодисаларнинг қандай ривожланишини кўра билиш имконини беради. Бу шартлар умумий ном билан катта сонлар қонуни деб юритиладиган теоремаларда кўрсатилади. Булар жумласига Чебишев ва Бернулли теоремалари мансуб, Чебишев теоремаси катта сонлар қонунининг энг умумийси, Бернулли теоремаси эса энг соддасидир. Бу теоремаларнинг исботида Чебишев тенгсизлигидан фойдаланилади.
2. ЧЕБИШЕВ ТЕНГСИЗЛИГИ
Чебишев тенгсизлиги дискрет ва узлуксиз тасодифий миқдорлар учун ўринли. Соддалик учун бу тенгсизликни дискрет миқдорлар учун исботлаймиз.
Тақсимот жадвали (қонуни) билан берилган Х дискрет тасодифий миқдорни қараймиз:

Х	х1	х2	....	xn
Р	p1	p2	....	pn

Тасодифий миқдорни ўзининг математик кутилишидан четланиши абсолют қиймат бўйича мусбат сондан ортмаслик эҳтимолини баҳолашни мақсад қилиб қўяйлик. Агар етарлича кичик бўлса, биз бу билан тасодифий миқдор ўзининг математик кутилишига яқин қиймат қабул қилиш эҳтимолини баҳолаган бўламиз. П.Л.Чебишев бизни қизиқтираётган баҳони берувчи тенгсизликни исботлаган.