8-mavzu katta sonlar qonuni. Markaziy limit teorema. Chebishev tengsizliklari. Erkli tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun katta sonlar qonuni. Chebishev va bernulli teoremalari. BIR XIL TAQSIMLANGAN TASODIFIY MIQDORLAR UCHUN Markaziy limit

4.БЕРНУЛЛИ ТЕОРЕМАСИ
n та эркли синаш ўтказилаётган бўлиб, уларнинг ҳар бирида А ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли р га тенг бўлсин. Ҳодиса рўй беришининг нисбий частотаси тахминан қандай бўлишини аввалдан кўра билиш мумкинми? Бу саволга Яков Бернулли томонидан исботланган теорема (1713 йилда нашр этилган) ижобий жавоб беради, бу теорема “катта сонлар қонуни” номи билан юритилади, у эҳтимоллар назариясининг фан сифатида шаклланишига асос солди. Бернуллининг исботи мураккаб эди. Теореманинг содда исботини П.Л.Чебишев 1846 йилда баён этган.
Бернулли теоремаси. Агар n та эркли синашнинг ҳар бирида А ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли p ўзгармас ва синашлар сони етарлича катта бўлса, у ҳолда нисбий частотанинг р эҳтимолдан четланиши абсолют қиймат бўйича, исталганча кичик бўлиш эҳтимоли бирга исталганча яқин бўлади.
Бошқача қилиб айтганда, агар исталганча кичик мусбат сон бўлса, у ҳолда теорема шартлари бажарилганда қуйидаги тенглик ўринли бўлади:

Исботи. орқали (дискрет тасодифий миқдор) биринчи синашда, орқали иккинчи синашда, ..., орқали n-синашда ҳодисанинг рўй бериш сонини белгилаймиз.
Равшанки бу миқдорларнинг ҳар бири фақат иккита қиймат: 1 ни (А ҳодиса рўй берди) р эҳтимол билан ва 0 ни (ҳодиса рўй бермади) 1-р=q эҳтимол билан қабул қилиши мумкин.
Қаралаётган миқдорларга Чебишев теоремасини қўллаш мумкинми? Агар тасодифий миқдорлар жуфт-жуфт эркли ва уларнинг дисперсиялари чегараланган бўлса, мумкин. Иккала шарт ҳам бажарилади. Ҳақиқатдан ҳам миқдорларнинг жуфт-жуфт эрклилиги тажрибаларнинг эрклилигидан келиб чиқади. Ихтиёрий (i=1, 2, …, n) миқдорнинг дисперсияси p*q кўпайтмага тенг, p+q=1 бўлгани учун p*q кўпайтма дан ортмайди (маълумки, йиғиндиси ўзгармас бўлган икки соннинг кўпайтмаси ўзининг энг катта қийматига кўпайтувчилар ўзаро тенг бўлган ҳолда эришади. Бу ерда p+q=1 , яъни ўзгармас, шунинг учун p=q= да p*q кўпайтма энг катта қийматга эга бўлади, бу қиймат га тенг.), демак бу миқдорларнинг дисперсиялари чегараланган, масалан С= сони билан.
Кўрилаётган миқдорларга Чебишев теоремасини (хусусий ҳолини) қўллаб, қуйидагини ҳосил қиламиз:

Ҳар бир миқдорнинг а математик кутилиши (яъни битта синашда ҳодисанинг рўй бериш сонининг математик кутилиши) ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли р га тенг эканлигини эътиборга олиб, қуйидагига эга бўламиз:

Энди каср n та синашда А ҳодиса рўй беришининг нисбий частотаси га тенглигини кўрсатиш қолди, холос. Ҳақиқатдан миқдорларнинг ҳар бири ҳодиса мос синашда рўй берганида бирни қабул қилади; демак йиғинди n та синашда ҳодисанинг рўй бериш сони m га тенг. Демак,

Бу тенгликни ҳисобга олиб, узил-кесил

тенгликни ҳосил қиламиз.