8-mavzu katta sonlar qonuni. Markaziy limit teorema. Chebishev tengsizliklari. Erkli tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun katta sonlar qonuni. Chebishev va bernulli teoremalari. BIR XIL TAQSIMLANGAN TASODIFIY MIQDORLAR UCHUN Markaziy limit

Эслатма. Бернулли теоремасига асосланиб, синашлар сони ортиши билан нисбий частота албатта р эҳтимолга интилади, деб хулоса чиқариш нотўғри бўлар эди; бошқача қилиб айтганда, Бернулли теоремасидан тенглик келиб чиқмайди. Теоремада фақат тажрибалар сони етарлича катта бўлганда нисбий частотанинг ҳар бир синашда ҳодиса рўй беришининг ўзгармас эҳтимолидан исталганча кам фарқ қилиши эҳтимоли тўғрисида сўз боради.
Шундай қилиб, нисбий частотанинг р эҳтимолга интилиши математик анализдаги маънодаги интилишдан фарқ қилади. Бу фарқни таъкидлаш мақсадида “эҳтимол бўйича яқинлашиш” тушунчаси киритилади. Аниқроғи, кўрсатилган интилиш турлари орасидаги фарқ қуйидагидан иборат:
Агар нисбат да математик анализдаги интилиш маъносида р га интилса, у ҳолда лар учун албатта тенгсизлик бажарилади; агарда нисбат да р га эҳтимол бўйича интилса, у ҳолда n нинг айрим қийматларида тенгсизлик бажарилмай қолиши мумкин.
Шундай қилиб, Бернулли теоремасига кўра да нисбий частота р га эҳтимол бўйича интилади. Бернулли теоремаси қисқача қуйидагича ёзилади:

Кўриниб турибтики, Бернулли теоремаси синашлар сони етарлича кўп бўлганда нисбий частота нима учун турғунлик хоссасига эга бўлишини тушунтиради ва эҳтимолнинг статистик таърифини асослайди.
Классик лимит теорема
Maрказий лимит теоремалар – эҳтимоллар назариясидаги шундай теоремалар синфики, уларда тахминан бир хил масштабга ва суст (кучсиз) боғлиқликка эга бўлган жуда катта сондаги тасодифий миқдорлар йиғиндиси нормал тақсимотга яқин тақсимотга эга бўлишини тасдиқлашади.
Амалиётда жуда кўп тасодифий миқдорлар бир нечта суст боғланган тасодифий факторлар таъсирида шаклланади, уларнинг тақсимотини нормал деб қабул қилишади. Бунда бу факторларнинг бирортаси хам доминанта бўлмаслиги шарти бажарилиши лозим. Бундай ҳолларда марказий лимит теоремалар нормал тақсимотни қўллашни асослаб беради.
Марказий лимит теореманинг классик шакли.
Айтайлик эркли, бир хил тақсимланган тасодифий миқдорларнинг чексиз кетма-кетлиги берилган бўлиб, улар чекли математик кутилма ва чекли дисперсияга эга бўлсин. Белгилаш киритамиз: = , у ҳолда
тақсимот бўйича .
ёки
бунда Ф(х) – стандарт нормал тақсимотнинг тақсимот функцияси
Эслатмалар:

• 
  Но расмий айтганда, классик марказий лимит теорема, n та эркли, бир хил тақсимланган тасодифий миқдорларнинг йиғиндиси тақсимотга яқин тақсимотга эга эканлигини тасдиқлайди. Эквивалент равишда тасодифий миқдор тақсимотга яқин тақсимотга эга бўлади.
  
• 
  тасодифий миқдорлар турли хил эҳтимоллик фазоларида аниқланган бўлиши мумкин. Улар фақат битта ҳақиқий тўғри чизиқда қиймат қабул қилса бўлди.
  
• 
  Стандарт нормал тақсимотнинг тақсимот функцияси узлуксиз бўлгани учун, ушбу тақсимотга яқинлашиш тақсимот функцияларининг стандарт нормал тақсимот функциясига нуқтали яқинлашишига эквивалент.
  

белгилаш киритсак, у ҳолда қуйидагига эга бўламиз

• 
  Классик марказий лимит теорема характеристик функциялар ёрдамида исботланади (узлуксизлик ҳақидаги Леви теоремасига асосланиб)
  
• 
  Умуман олганда тақсимот функцияларнинг яқинлашишидан, зичлик функциялариниг яқинлашиши келиб чиқмайди, лекин классик ҳолатда бу тасдиқ ўринли.