8-mavzu katta sonlar qonuni. Markaziy limit teorema. Chebishev tengsizliklari. Erkli tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun katta sonlar qonuni. Chebishev va bernulli teoremalari. BIR XIL TAQSIMLANGAN TASODIFIY MIQDORLAR UCHUN Markaziy limit

Чебишев тенгсизлиги. Х тасодифий миқдорнинг ўз математик кутилишидан четланиши абсолют қиймат бўйича мусбат сондан кичик бўлиш эҳтимоли дан кичик эмас:

Исботи. ва тенгсизликларнинг бажарилишидан иборат бўлган ҳодисалар қарама-қарши бўлгани учун уларнинг эҳтимоллари йиғиндиси бирга тенг, яъни
)+Р(
Бундан бизни қизиқтираётган эҳтимол:
)=1 (*)
Кўриб турибмизки, масала эҳтимолни ҳисоблашга келтирилди.
Х тасодифий миқдор дисперсиясининг ифодасини ёзайлик:

Бу йиғиндининг ҳар бир қўшилувчиси манфий эмас.
Таркибида бўлган қўшилувчиларни ташлаб юборамиз, қолган қўшилувчилар учун бўлади. Натижада йиғинди фақат камайиши мумкин. Аниқлик учун биринчи k ta қўшилувчи ташлаб юборилган деб ҳисоблаймиз (умумийликка зиён келтирмасдан, тақсимот жадвалида мумкин бўлган қийматлар шу тартибда белгилаб чиқилган дейиш мумкин). Шундай қилиб,

( тенгсизликнинг иккала томони ҳам мусбат, шунинг учун уларни квадратга ошириб, тенг кучли тенгсизликни ҳосил қиламиз. Бундан фойдаланиб ва қолган йиғиндидаги ҳар бир кўпайтувчини билан алмаштириб (бундан фақат тенгсизлик кучайиши мумкин), қуйидагини ҳосил қиламиз:
(**)
Қўшиш теоремасига кўра эҳтимоллар йиғиндиси Х тасодифий миқдор қийматларнинг қайсиниси бўлса, бирини қабул қилиш эҳтимоли бўлиб, уларнинг ҳар бирида ҳам четланиш тенгсизликни қаноатлантиради. Бундан йиғинди
Р(
эҳтимолни ифодалаши келиб чиқади. Бу мулоҳаза (**) тенгсизликни бундай ёзишга имкон беради:
Р(
Ёки
Р( (***)
(***) ни (*) га қўйиб, узил-кесил қуйидагиларни ҳосил қиламиз:

Мана шуни исботлаш талаб қилинган эди.
Эслатма. Амалиёт учун Чебишев тенгсизлигиниг аҳамияти чекланган, чунки кўп ҳолларда у қўпол, баъзан эса тривиал (аҳамияти бўлмаган) баҳо беради. Масалан, агар , ва демак бўлса, у ҳолда ; шундай қилиб, бу ҳолда Чебишев тенгсизлиги четланишнинг эҳтимоли манфий эмаслигини билдиради, бу эса шундоқ ҳам равшан, чунки ҳар қандай эҳтимол манфий бўлмаган сон билан ифодаланади. Чебишев тенгсизлигини назарий аҳамияти эса жуда каттадир. Қуйида Чебишев теоремасини келтириб чиқариш учун шу тенгсизликдан фойдаланамиз.