8-ma’ruza mavzu: abs va uning elementlarini tadqiq qilish

4-rasm.Uzluksiz va uzlukli sistemalarning funksional sxemasi.
Bunda: IE-impulsli element.

T- impulslarning takrorlanaish davri.
3.ABSlarning dinamik va statik tenglamalari.

Uzluksiz boshqarish sistemalarining differensial tenglamalar yordamida matematik ifodasini ko’rib chiqamiz.

Praktikada qo’llaniladigan zveno va sistemalar ixtiyoriy tartibdagi nochiziqli differensial tenglamalar orqali ifodalanadilar. Zveno deganda elementning matematik ifodasi tushuniladi.

Misol tariqasida quyida ikkinchi darajali differensial tenglama bilan ifodalangan zvenoni ko’rib chiqamiz.

F(u,u^/,u^//,x,x¹)+ f =0 (1)

Bu erda: U-chiqishdagi kattalik;

X, f-kirishdagi kattaliklar;

x¹, u¹-vaqt bo’yicha olingan birinchi hosila;

u^//-vaqt bo’yicha olingan ikkinchi hosila.

Zvenodagi ixtiyoriy kirish ta’siridan hosil bo’ladigan jarayonlarni ifodalovchi tenglamaga zvenoning dinamik tenglamasi deyiladi. Kirish kattaliklarning o’zgarmas x=x⁰ va f=f⁰ qiymatlarida zvenodagi jarayon vaqt davomida qaror topgan bo’lsin; unda chiqish kattaligi ham o’zgarmas u=u⁰ qiymatga ega bo’ladi. U holda tenglama quyidagi ko’rinishga keladi:

F(u⁰,0,0,x⁰,0)+ f⁰ =0 (2)

Bu tenglama statik yoki muvozanat rejimini ifodalaydi va uni statik tenglama deyiladi. Statik rejimni grafik ko’rinishida statik xarakteristikalar orqali ifodalash mumkin. Statik rejimda chiqish kattaligining kirish kattaligiga nisbatan o’zgarishiga zveno yoki elementning statik xarakteristikasi deyiladi.

4.Statik va astatik boshqarish.

YUklamaning har qanday muvozanat qiymatiga boshqariluvchi kattalikning yangi muvozanat qiymati to’g’ri kelsa, bunday boshqarishga statik boshqarish deb ataldi.

YUklamaning har qanday muvozanat qiymatiga boshqaruvchi kattalikning bir xil qiymati to’g’ri kelsa, bunday boshqarish astatik boshqarish deb ataladi.

Astatik boshqarish sistemalari boshqariluvchi kattalik bilan boshqaruvchi organ o’rtasidagi qattiq bog’lanishning yo’qotilishi bilan xarakterlanadi. Bu bog’lanish sistemasiga qo’shimcha astatik deb ataladigan ya’ni integrallash vazifasini bajaradigan zveno kiritish bilan amalga oshiriladi.

6-rasmda boshqariluvchi kattalik bilan yuklama orasidagi bog’lanishning statik va astatik boshqarishdagi grafigi keltirilgan.

6-rasm a) statik boshqarish

b) astatik boshqarish.

Astatik sistemalarda yuklamaning o’zgarishi bilan hosil bo’ladigan statik xatolik bo’lmaydi, lekin «D» xatolikning bo’lishi har qanday real sistema elementlarining ideal xarakteristikasiga ega bo’lmasligi bilan izohlanadi.

Statik sistemalarda statik xatolikni xarakterlovchi statizm u_st tushunchasi kiritiladi. Boshqarish statizmi u_st yuklamaning nominal qiymatigacha o’zgarganda, boshqarilayotgan kattalikning og’ish darajasini xarakterlaydi.
u_st=(Y_max-Y_min) /Y_min
5.Chiziqlantirish.

Odatda avtomatik sistemalarni nochiziqli deferensial tenglamalar bilan ifodalaydilar. Lekin juda ko’p hollarda ularni chiziqlantirish mumkin, ya’ni nochiziqli tenglamalarni sistemada hosil bo’lgan jarayonlarni taxminiy ifodalovchi chiziqli tenglamalar bilan almashtirish mumkin.

Y=φ(x) nochiziqli statik bog’lanish bilan ifodalanuvchi zvenoni ko’rib chiqamiz.

Zvenoning muvozanat rejimiga kirish va chiqish kattaliklarining X₀ va Y ₀ qiymatlari to’g’ri kelsin, hamda zvenoning ish jarayonida “X” qiymatining “X₀” qiymatdan og’ishi kichik bo’lsin. Unda berilgan nochiziqli Y=f(x) ifodani muvozanat holatidagi nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyib va shu qatorning birinchi darajali hadlaridan yuqorisini tashlab yuborib, quyidagi taqribiy ifodani ifodani olish mumkin.

Y ≈ φ(x₀) + (∂φ/∂x₀) (x-x₀) (4)

bunda (∂φ/∂x)₀-x=x₀ qiymatiga teng bo’lganda φ(x) funksiyasining x bo’yicha olingan hosilasi.

Bu 1 tenglamani quyidagicha ifodalash mumkin:

∆Y ≈ K ∆X (5)

∆X =X-X₀; ∆Y=Y-Y₀

K= (∂φ /∂x)₀

Bajarilgan chiziqlantirish oddiy grafik izohga ega bo’lib, bu amalni grafik shaklda nochiziqli tenglamaning chiziqli qismidagi ixtiyoriy nuqtaga o’tkazilgan urinma deyish mumkin. Ikkinchi tenglamadagi koeffisient «K» esa shu urinmaning absissa o’qi bilan hosil qilgan burchak tangensiga teng bo’ladi.

Endi umumiy holni ko’rib chiqamiz.

Zveno quyidagi nochiziqli tenglama bilan ifodalangan bo’lsin:

φ(X,X¹,X²………. U, U¹ U² …)=0 (6)

Bu tenglamani chap qismini muvozanat rejimiga to’g’ri keladigan nuqtada Teylor qatoriga yoyib chiqqanimizda quyidagi o’zgaruvchi kattaliklarning orttirmasi uchun chiziqli differensial tenglamaga ega bo’lamiz.

∂φ /∂x)₀ ∆X+ (∂φ/∂x¹ )₀ ∆X¹ + (∂φ/∂x²)₀ ∆X² +…+ (∂φ/∂u)₀ ∆U + (∂φ/∂u¹)₀ ∆U¹+ (∂φ/∂u²)₀∆U²+...+≈0

Bunda (∂φ/∂x)₀; (∂φ/∂x¹)₀ va hokazo φ(x) funksiyasining x=x₀ u=u₀ bo’lganda, hamda muvozanat rejimidagi hosilalarning nol qiymatidagi hosilasining miqdori.

Bunday chiziqlantirishni o’tkazish quyidagi cheklangan shartlar bajarilgandagina joizdir.

1.Uni faqat kichik og’ishlar uchun qo’llash mumkin;

2.Faqat uzluksiz differensiallanadigan nochiziqlar uchun qo’llash mumkindir.

Shuning uchun bunday nochiziqlilarni chiziqlantiriladigan nochiziqlar deyiladi. Bu shartlarni qoniqtirmaydigan nochiziqlilarga o’ta nochiziqliklar deyiladi. ABN da chiziqlantirilgan differensial tenglamalarning ma’lum yozuv formasi qabul qilingan.

(T₁² R²+T₂R+1)Y=(K₁+K₂R+K₃R²)X (8)

R=d/dt ; vaqt bo’yicha olingan hosilani belgisi.

X=∆X/X₀; U=∆U/U₀.

O’zgaruvchining nisbiy birlikdagi orttirmasi.

K₁= -(∂φ/∂x)₀ /(∂φ/∂u)₀X₀/U₀;

K₂= -(∂φ/∂x')₀ /(∂φ/∂u')₀X₀/U₀;

K₃= -(∂φ/∂x")₀ /(∂φ/∂u")₀X₀/U₀;

Uzatish koeffisientlari.

T₁² = (∂φ /∂u")₀/(∂φ/∂u)₀

T₂= (∂φ /∂u')₀/(∂φ/∂u)₀ vaqt doimiyligi.
6.Laplas o’zgarishi.

Quyidagi integral yordamida haqiqiy o’zgaruvchi «t» ga ega bo’lgan f(x) funksiyasini kompleks o’zgaruvchi «r» ga ega bo’lgan φ(R) funksiyaga almashtirilishi Laplas o’zgartirilishi deyiladi.

φ(R)=∫f(t)∙e^-Pt∙dt=L{f(t)}

L-Laplas to’g’ri o’zgartirishining belgisi.

(R) funksiyasining Laplas o’zgartirishibo’yicha tasviri.

f(t) funksiyaning haqiqiy ko’rinishi.

f(t) funksiyasiga Laplas almashtirishini qo’llash uchun bu funksiya quyidagi xususiyatlarga ega bo’lmog’i kerak.

1. f(t) funksiyasi aniqlangan v sonlar o’qning musbat qiymatlari bo’lakli differensiallanuvchi funksiya bo’lishi kerak.

2. t<0 bo’lganda f(t)=0

3.0 bo’lganda shunday musbat “M” va “S” sonlar uchun |X(t)|≤Me^ct bajarilishi shart.

Ko’rsatilgan ushbu xususiyatga ega bo’lgan funksiyalarni deyiladi. Original funksiya tasvir orqali quyidagi ifoda yordamida aniqlanadi.

f(t)=(1/2πj)  φ (P)e^Pt dP= L^-1 (φ(P)) (10)

va Laplas teskari bog’lanishi deyiladi. L^-1 Laplas teskari bog’lanishining belgisi.

7.Tipik kirish signallari.

Elementlarning dinamik xususiyatlarini tekshirish uchun differensial tenglamani echish yoki qandaydir qo’shimcha usullar yordamida uning echimini

topish kerak bo’ladi. Buning uchun kirish kattaligi x(t) vaqtga bog’liq bo’lishi kerak.

Sistema va elementlardan sodir bo’ladigan jarayonlarni tekshirishda quyidagi tipik signallar qabul qilingan.

1. 
   Pog’onali funksiya (signal). Bu funksiya t=0 bo’lganda birdan sakrab ma’lum A=sonst qiymatga ega bo’ladi va t≥0 bo’lganda o’zgarmaydi (10-rasm) ya’ni x(t)
   

0x(t)=(A 1(t) t≥0 bo’lganda t<0.

Pog’onali funksiya x(t)=A1(t) ko’rinishida belgilanadi.

1(t) funksiyani birlik pog’onali funksiya deyiladi. Elektr va elektromexanik qurilmalar uchun bunday signal element kirishiga o’zgarmas kuchlanish ulashini bildiradi.

Pog’onali ta’sir natijasida yangi muvozanat holatiga o’tish jarayoni x(t)=A 1(t) differensial tenglamaning echimi orqali ifodalanadi. Element yoki sistemaning pog’onali ta’sirga bo’lgan reaksiyasiga o’tkinchi jarayon deyiladi va h(t) bilan belgilanadi. L(A 1(t) )=A 1/P pog’onali funksiyaning Laplas bo’yicha tasviri.

2.Impulsli funksiya.

Bu funksiya x(t)=FS(t) orqali belgilanadi. Bunda A=const o’zgarmas miqdor. σ(t)-∞ katta amplituda va ∞ kichik davomiylikka ega bo’lgan impuls bo’lib, uni birlik impuls deyiladi.

σ(t)=0; t<>0

∞; t=0

u(t) funksiyadan olingan integral birga teng bo’lgani uchun praktikada u(t) impulsni yuzasi birga teng bo’lgan to’g’ri to’rtburchakli impuls bilan almashtiriladi.

 S(i)dt=1

Element yoki sistemaning u(t) funksiyasiga bo’lgan reaksiyasini impulsli o’tkinchi funksiya (vazn funksiyasi) deyiladi va (t) bilan belgilanadi.

Lu(t)=1- u(t) funksiyaning Laplas bo’yicha tasviri.

O’tish funksiyasi va impulsli o’tish funksiyasini sistema yoki elementning vaqt xarakteristikalari deyiladi.

3.Sinusoidal (garmonik) funksiya.

Bu funksiya haqiqiy yoki kompleks formada berilishi mumkin. Haqiqiy forma ko’rinishida bu funksiya sinusoidal yoki kosinusoidal ko’rinishda beriladi.

x(t)=A Sin (t+_k);

x(t)=A Cos (t+_k).

Bunda: =2/T-X(t)–tebranishlarning aylanma chastotasi, T-tebranishlar davri .

X(t)-funksiyaning boshlang’ich fazasi _k ixtiyoriy bo’lishi mumkin.(CHunonchi _k=0) Chiziqli stasionar sistemalar uchun X(t) funksiyasining amplitudasi A_k=1 deb olinadi. ABS larni tekshirishda garmonik funksiyani komleks formada berilishi anchagina qulaydir.

X(t)=A_ke^j(t+)=A_k()[cos [t+_k ()]+j sin[t+_k ()]

Kirishda X(t)=A_k(ω)e^{j(t+(ω))} signali ta’sirida chiziqli stasionar sistemalarning chiqishidagi majburiy tebranishlari xam bir xil chastotali, lekin amplituda va fazasi kirish signalining amplituda va fazasidan farqli bo’lgan garmonik qonun bo’yicha o’zgaradi.

Zveno yoki sistemaning garmonik funksiyaga (signalga) bo’lgan reaksiyasiga chatotali xarakteristika deyiladi.

Le ^iωt=(1/(P-j ω))-x(t)=e^jωt funksiyaning Laplas tasviri.

X(t)=Ak^(ω) e^{j|ωt+φk(ω)|} y(t)=Ar ^{( ω)}-e^{j( ω+φr(ω)}