7-мавзу. Вариация кўрсаткичлари Режа

7.3. Дисперсия ва квадратик ўртача тафовут хоссалари
Дисперсия ва квадратик ўртача тафовут алгебраик амалларни бажариш учун энг қулай ўзгарувчанлик меъёридир. Бу жиҳатдан у арифметик ўртачани эслатади.
Дисперсия ва квадратик ўртача тафовутларнинг энг муҳим хоссаларини кўриб чиқамиз.
s²_х ва s_х арифметик ўртача нисбатан ҳисобланганда бу кўрсаткичлар ўзгарувчанликнинг энг кичик қийматли меъёридир, яъни бунда А¹ . Юқорида исботланганига кўра,
.
Бу ерда: d²қ(x-A)². Демак, , чунки
қатор ҳадларини бирор А ўзгармас миқдорга камайтирсак (ёки кўпайтирсак), яъни х-А, бу ҳол дисперсия ва квадратик ўртача тафовутга таъсир этмайди, яъни янги Уқх-А қатор учун бундай кўрсаткич бошланғич қатор кўрсаткичларига тенг бўлади:
қатор ҳадларини бирор ўзгармас миқдор к марта қисқартирилса (ёки кўпайтирилса), дисперсия к² марта, квадратик ўртача тафовут к марта озаяди (ёки ортади).
УқХ/К бўлса

(6.8)
N - биринчи натурал сонлар учун квадратик ўртача твафовутни аниқлаш ҳам амалий аҳамият касб этади. Алгебрадан^1[6] маълумки, N - биринчи натурал сонлар йиғиндиси N(N + 1)/2, уларнинг квадратларининг йиғиндиси эса N(N+1)(2N+1)/6 ифода билан аниқланади. Демак, биринчи натурал сонлар ўртачаси: N(N + 1)/2 : N қ (N + 1)/2 ва (6.4) формулага биноан уларнинг ўртача квадрат тафовути эса қуйидаги ифодага тенг:
s2 қ (N+1)(2N+1)*1/6 - (N+1)2 *1/4 бундан
s² қ (N² - 1)*1/12. (6.12)
Бу формуладан фойдаланиш учун мисол қилиб белги даражаларини ўлчамасдан, тўплам бирликларини бирор умумий хусусияти асосида сафлаб (ранжирлаб), сўнгра тартиб сонлари билан белгилаб чиқиш натижасида барпо бўладиган N - рангли қаторларни олиш мумкин.

7.4. Дисперсия ва квадратик ўртача тафовут ҳисоблашнинг соддалаштирилган усуллари
Юқорида баён этилган дисперсия хоссаларига таяниб бу кўрсаткични, демак, квадратик ўртача тафовутни ҳам ҳисоблашни бир мунча соддалаштириш мумкин. Шундай йўллардан бири шартли момент усули деб аталади.
Ўрганилаётган х_i қаторнинг ҳар бир ҳадидан А-ўзгармас миқдорни айириб, олинган натижаларни бошқа К-ўзгармас миқдорга бўлсак, бошланғич х_i қатор ўрнига янги у_i қатор вужудга келади, яъни У_i қ (x_i - A) ғ K . Агарда қатор тенг оралиқли варианталарга эга бўлса, А - константа қилиб қатор ўртасидаги ҳадни (вариантани), К - константа қилиб эса оралиқ кенглигини олиш керак, чунки бу ҳолда ҳисоблаш жуда соддалашади. Сўнгра янги у_i - қаторнинг варианта қийматлари ва уларнинг квадратларидан арифметик ўртачалар ҳисобланади:


натижада
Бу кўрсаткич бошланғич ҳақиқий х_i - қатор дисперсиясини ҳам аниқлайди, чунки (6.6).