7-мавзу. Вариация кўрсаткичлари Режа

excessus» - оғишган, ўткир қийшайган, букур, кучли букчайган ва грекча «xuproc» сўзидан олинган «kurtosus» - дўнг, букур, ўткир учли қиялик деган луғавий маънога эга. Статистикада эксцесс деганда тақсимот шаклининг бўйига чўзиқлиги ёки яссилиги назарда тутилади.
Эксцесс меъёри бўлиб тўртинчи моментнинг тўртинчи даражали квадратик ўртача тафовутга нисбати хизмат қилади, яъни
(6.29).
Моментлар тушунчаси механикадан олинган бўлиб, тақсимот қаторини таърифловчи муҳим кўрсаткич (параметр)лар ҳисобланади. Тўплам учун уч турли моментлар мавжуд:
оддий моментлар;
марказий моментлар;
шартли моментлар.

Оддий момент - бу координат бошланғич нуқтасига тегишли мо-ментдир.
Координат бошланғич моментига тегишли моментлар оддий моментлар деб аталади. У ўзгарувчан белги қийматларини тегишли даражаларга кўтариш натижаларидан олинган ўртачадир. К-даражали (Кқ0,1,2,3...) оддий моментни қуйидаги асосида аниқлаш мумкин:
(6.30)
f_i-айрим гуруҳлардаги бирликлар сони;
x_i-ўзгарувчан белги қийматлари ёки оралиқли варианталарнинг ўртача қийматлари.
Демак, нол тартибли оддий момент бирга тенг х⁰қ1, биринчи тартибли момент арифметик ўртачага, иккинчи тартибли момент эса ўзгарувчан белги квадратларининг ўртача қийматига мос келади ва х.к.

Марказий момент - бу К-тартибли моментни арифметик ўртачага нис-батан қарашдир.
Марказий момент деб К-тартибли моментни арифметик ўртачага нисбатан олишга айтилади.
У қуйидаги формула ёрдамида ҳисобланади:
(6.31).
6.31. формулага асосан, нолинчи тартибли (Кқ0) марказий момент бирга тенг яъни тенг, биринчи тартибли (Кқ1)марказий момент нолга тенг, (mқ0), иккинчи тартибли марказий момент (Кқ2) тақсимот қаторининг дисперсиясидир:

Оддий ва марказий моментлар ўртасида маълум боғланиш мавжуд. Иккинчи тартибли марказий моментларни Ньютон биноми асосида ёйиш йўли билан уларни оддий моментлар орқали ифодалаш мумкин.
Маълумки, учинчи тартибли марказий моментлар эса оддий моментлар билан ифодаланганда, қуйидагича кўринишга эга:

Тўртинчи тартибли марказий моментларни оддий моментларга келтириш натижаси қуйидаги шаклга эга бўлади:

(6.32)

6.31 Нормал тақсимот қатори учун эксцесс коэффициенти учга тенг, яъни К_эксқ3. Хақиқий қатор учун бу коэффициент учдан кичик бўлса, яъни К_{ҳақиқий}<3, тақсимот ясси учли хисобланади. Ўз-ўзидан равшанки бу ўзаро нисбат қанча катта бўлса, шунчалик қатор учи ўткирлашган бўлади. Шартли моментлар бирор ихтиёрий нуқтага (шартли ўртачага) нисбатан аниқланади. Ҳисоблаш жараёнини соддалаштириш учун тенг оралиқли вариацион қаторларда айрим ҳадларни ва шартли ўртачани оралиқ кенглиги мартаба қисқартириб юбориш тавсия этилади. Натижада билан, «х» ларни эса «у» билан алмаштирилади, бунда

Агарда асимметрия ва эксцесс кўрсаткичлари ўзининг икки каррали квадратик ўртача хатосидан катта бўлмаса, тақсимотни нормал деб ҳисоблаш мумкин, аниқроғи ҳақиқий тақсимотни нормалга ўхшашлиги ҳақидаги гипотезани инкор қилиб бўлмайди. Асимметрия ва эксцесснинг квадратик ўртача хатоси қуйидаги формулалар ёрдамида аниқланади.

(6.35)
(6.36)

Асосий тушунча ва атамалар

Вариация ва унинг кўрсаткичлари, вариацион кенглик, дисперсия (ўртача квадрат тафовут), квадратик ўртача тафовут, дисперсия ва квадратик ўртача тафовут хоссалари, шартли момент усулда дисперсия ҳисоблаш, йиғинди усулида арифметик ўртача ва дисперсия ҳисоблаш, умумий дисперсия, жузъий дисперсия, қисмлараро (гуруҳлараро) дисперсия, дисперсияларни қўшиш қоидаси, муқобил белги дисперсияси, ўртача абсолют тафовут (модул), нимквартил кенглик, вариация коэффициентлари, асимметрия ва унинг кўрсаткичлари, пирсон асимметрия коэффициенти, тақсимот асимметриялиги коэффициенти, эксцесс ва унинг коэффициенти, момент ва унинг турлари, оддий момент, марказий момент, шартли момент.

Хулоса
Вариация моҳияти ва кўрсаткичлари аналитик статистикада энг муҳим ва бошланғич таянч бўлим ҳисобланади. Улар барча илмий муаммолар, статистик ечим ва қарорлар қабул қилиш асосида ётади. Вариация - статистик тўпламда содир бўладиган объектив миқдорий ва сифат ўзгаришлар натижасидир. У тўплам бирликлари бўйича ўрганилаётган белги ёки белгилар қийматларида кузатиладиган тебранувчанлик, ўзгарувчанликни билдиради.

Вариация даражаси мутлақ ва нисбий кўрсаткичлар тизими орқали ўлчанади. Унинг асосий меъёрлари бўлиб дисперсия ва квадратик ўртача тафовут, мутлақ ўртача тафовут, нимквартил кенглик, вариацион кенглик ва вариация коэффициентлари хизмат қилади. Булар ичида дисперсия ва квадратик ўртача тафовут ҳамда унинг вариация коэффициенти энг муҳим кўрсаткичлар ҳисобланади.
Умумий дисперсия ўртача жузъий (ички гуруҳий) ва гуруҳлараро дисперсиялардан таркиб топади. Нисбий ўзгаришларни ўрганаётганда ва асимметрик тақсимотда вариация даражасини баҳолаётганда геометрик ўртачага нисбатан дисперсияни ҳисоблаш ўринли ҳисобланади.
Вариация кўрсаткичлари ўрганилаётган тўплам бўйича белги ўзгарувчанлик даражасини умумлаштириб таърифлайди. Аммо улар тақсимот тузилиши, унинг шакли ва ички хусусиятларни ёритиб бермайди. Бу мақсадлар учун асимметрия ва эксцесс кўрсаткичлари хизмат қилади. Улар учинчи ва тўртинчи тартибли маркизий моментлар усулида ҳисобланади.

1^[6] Â.Íàçàðîâ, Á.Ò.Òîøïûëàòîâ, À.Ä. Äèñóìáåòîâ. Àëãåáðà âà ñîíëàð íàçàðèÿñè 1-=исм, Ò.: Ы=итувчи, 1993, 68-áåò.

2^[7] ÷óíêè P=f₁/åf âà q=f₀/åf былгани ó÷óí p+q=f₁/åf+f₀/åf=åf/åf=1.