6. Mavzu chiziqli kichik tebranishlar

X^ + COg X^ = ~Xg (6.52)

x₀ ning 0‘rniga (6.51) ni qo‘yiladi:


— Xg — —a cos (o₀t + p) —


а³ За³

—— cos[3(o₀ t + p)]—— cos(o₀1 + p)


(6.53)


(bu yerda cos³ — (3cosx + cos3x)/4 formuladan foydalanildi).


Muammoga duch keldik - tenglamaning o‘ng tomonida rezonans had bor — 3a³cos³(o₀t + (p)/4. Agar shu hadni tenglamaning o‘ng tomonida qoldirilsa, unda yechimda vaqt o‘tishi bilan cheklanmasdan o‘sadigan

t cos(o₀1 + p)


ko‘rinishdagi sekular yoki asriy deyiladigan had hosil bo'lishi kerak, bu esa masalaning fizikasiga hech ham to’g‘ri kelmaydi, tashqi ta’sir bo‘lmagan sistemada tebranish amplitudasi o‘z- o‘zidan o‘sa boshlashi mumkin emas. Agar (6.46) ni mx ga ko’paytirilsa u

d ^ mx² kx² m/x⁴ )

~dt ^^ ⁺ ~ ⁺ 4 )~

yoki,

^mx+*+m£xL—_const (6.54)

2 2 4 ^{v 7}


ko‘rinishga keltiriladi. Bu - energiyaning saqlanish qonuni, undan ko‘rinib
turibdiki, amplituda x⁴yuqoridan chegaralangan va o‘z- o'zidan o‘sib ketavera
olmaydi.

Demak, sekular hadni boshqacha tahlil qilish kerak. Muammoning
yechimi quyidagicha. Qaytatdan (6.46) tenglamani / bo‘yicha birinchi tartibli

aniqlikda yozib olamiz:

.._{3 2 2 4} a/ г л 3a³

x₀³ + V²x₀ + /(x₁ + V₀²x ) — —cos[3(o₀1 + p)] —— cos(o₀1 + p)


(6.55)


Oxirgi hadni acos(o₀1 + p) — x₀ ekanligini hisobga olib, tenglamaning


chap tomoniga o‘tkazamiz va uni oy x₀ ga qo'shib qo‘yamiz:


x₀


Z 3 z-Л

2 a /

^{+ O +}—~

V ⁴ 2


^x0 ^{+ /}(^xi ^{+ V}0^2xi) ^{— —} 3^ ^{cos[3( V}0^{t +} p^)]


\ /

Ko‘rinib turibdiki, yangi chastota


CO — COg + /V — COg +


3/a²

8


(6.56)

(6.57)

hosil bo‘ldi. Natijada, x ₀ uchun tenglamani



x₀ + o'x = 0 (6.58)

ko'rinishda yozib olishga to‘g‘ri keladi. Albatta, ~₀ endi B ga bog'liq bo‘lib


qoldi, shu sababli u boshqacha belgilandi, ammo bu bog‘liqIik oslikora emas, chastota orqali kirgan bog‘liqlikdir: ~₀ = ~₀(o(P)). Bu tenglamaning yechimi


(6.47) dan farq qiladi:

~₀ = a cos(cot + (p) (6.59)

^xx0 yechimni shunday qayta aniqlaganimizdan keyin ^xx1 , uchun tengiama quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

_a ³

~j + a>²x_r = cos[3(ot + p)] (6.60)


Bu tenglamaga kelish uchun (6.47) yoyilmani qaytatdan bajarishimiz kerak, undagi x₀ hadni ~₀ ga va chastotani ham o₀ ^ co almashtirishimiz


kerak. Umumiy qoida bo‘yicha bu tenglamaning yechimi

_a ³

x_x = - cos[3(ot + p)] (6.61)

¹ 32o²

bo'ladi.

Demak, birinchi yaqinlashuvdagt umumiy yechim

z.x , Ba³ „ . . „ ₄ . 3Ba³

x(t) = acos(ot + p) + ——-cos(3ot + 3p), о = о + —— (6 62)

32<o 8o₀

ko'rinishga ega bo‘ldi.

Haqiqatda ikkinchi hadning mahrajida о₀ ^ о deb olish kerak, chunki


1 1

co² 3fla³

o₀ +

O„


1 3pa³

—
oo 4o₀


+....


yoyilmadan ko‘rinib turibdiki, ushbu almashtirish bajarilmasa X2 ga kirishi
kerak bo‘lgan hadlarning bir qismini x₁ ga kiritib qo‘ygan bo‘lib chiqamiz. Shu

mulohazani fikrda tutib birinchi tartibli aniqlikdagi yechim

z.x s .... Ba³ . . 3Ba³

x(t) = a cos(ot + p) + ——-cos(3ot + 3p), о = о + ~—
32o^{2 0} 8o


(6.63)


deb olinadi.


Olingan natijadagi ikkita muhim o‘zgacha xossalami aytib o‘tish kerak.

Birinchidan, chiziqli sistemalardan farqli o‘laroq nochiziqli sistemaning tebranish chastotasi (6.57) tebranish amplitudasiga bog‘liq bo‘lib chiqdi.

Ikkinchidan, yechimda yuqori chastotali tebranish - yugori garmonika - hosil bo‘ldi. Ularning yana bir nomi - kombinatsion chastotalar. Umumiy metodga o‘tkanimizda ko‘ramizki, bu ikkita alohida xossa nochiziqli tebranishlar uchun umumiy bo’lgan xossalardir, har keyingi yaqinlashuv hisobga olinganda chastotaning o‘zgarishi yana ro‘y beraveradi va



m_i ± _j qoida bo‘yicha (bu yerda op - avvalgi yaqinlashuvlarda hosil bo‘lgan chastotalar) yangi kombinatsion chastotalar hosil bo'laveradi.

Savollar:

1. 
   Qanday tenglama erkin tebranishlar tenglamasi deyiladi?
   
2. 
   Ko’p hollarda garmonik ossilator tenglamasi deyilganda, qanday tebranishlar tenglamasi tushuniladi?
   
3. 
   Nima sababdan kichik tebranishlar ko ‘pincha chiziqli tebranishlar ham deyiladi?
   
4. 
   Qanday masala majburiy tebranishlar masalasi deyiladi?
   
5. 
   Majburiy tebranish bajarayotgan sistema tenglamasini keltiring
   
6. 
   Rezonans holadida tebranishlar amplidudasi qanday holatda oshib boradi?
   
7. 
   So'nuvchi tebranishlar dweganda nimani tushunasiz?
   
8. 
   Dissipativ funksiyaning mohiyati nimada?
   
9. 
   Kuchsiz nochiziqli tebranishlar ifodasini keltiring?
   
10. 
    Yugori garmonika deganda nimani tushunasiz?
    
11. 
    Kombinatsion chastotalar tenglamasini keltiring?