6. Mavzu chiziqli kichik tebranishlar

So’nuvchi tebranishlar.





Shu paytgacha tashqi muhitning sistemaga ta’sirini hisobga olmay kelingan edi. Sistema biror tashqi muhitda harakat qilsa u shu muhitning molekulalari bilan to'qnashishi natijasida o‘z energiysini yo'qota boshlaydi. Molekular o‘zaro ta’sirni hisobga olgan bunday harakatning to‘liq nazariyasi murakkab bo‘lib u mexanika fanining vazifasi emas. Ammo agar jism tezligi kichik bo‘lsa, muhitning ta’sirini ishqalanish kuchi sifatida harakat tenglamasiga kiritish mumkin ya’ni, masalani mexanik masalaga aylantirish mumkin. Bunday ishqalanish kuchi jism tezligiga proporsional bo‘lishi kerak, chunki tezlik nolga teng boTganda ishqalanish kuchi ham yo‘q bo'ladi. Kichik tezliklar haqida gap ketayotganini hisobga olib, bu kuch tezlikning birinchi darajasiga proporsional deb olinadi:

f = —ax (6.19)

Minus ishora kuch harakat tezligiga qarshi yo‘nalganini ko‘rsatadi. Demak, bu holda, harakat tenglamasi

mx = -kx — ax (6.20)

ko‘rinishga ega. Quyidagi oy = k/m, 2y = ajm belgilashlar kiritib bu tenglama


x + 2y + o₀ x = 0 (6.21)

ko‘rinishga keltirib olinadi. Bu tenglamaning yechimi

x = exp(kt) (6.22)

ko‘rinishda qidiriladi. k uchun tenglama:

k + 2^k + co₀ = 0 (6.23)

Tenglamaning ikkita yechimi bor:

^k1 = ^—Y ⁺ /^{2 —} °0 , ^k2 = ^{— Y —} ^/^{2 — O}0 ⁽⁶.²⁴⁾

Ko‘rinib turibdiki, uch xil hoi uchrashi mumkin:

1. 
   o > /
   
2. 
   O>g < У²
   
3. 
   О = Y
   

Birinchi holda О — y² = o' deb belgilansa

ki,2 =— Y ± io (6.24)

ga kelinadi, bu degani, (6.21) ning yechimi ko'rinishga ega boiadi. Bu yechim davriy yechim emas, u so'nuvchi tebranishlargd mos keladi. Uning grafigi 6.5-a rasmda ko'rsatilgan.





6.1- rasm. So‘nuvchi tebranishlar.

Ikkinchi holga o‘taylik. Bu holda (6.24) dagi ildiz haqiqiy son bo‘ladi, umumiy yechim

x — c exp(-/1 + 1^/^2 -al) + c2 exp(-/1 +1^/^2 -a>l) (6.25) Bunday yechim so‘nishning o‘zini beradi. Uning grafigi 6.1-b rasmda ko‘rsatilgan. Uchinchi holga kelaylik. Bu holda xarakteristik tenglamaning ildizlari karralidir. Umumiy nazariya bo‘ycha yechimi x = (c1 + c21)exp(-/) (6.26) ko‘rinishga ega bo‘ladi. Agar tebranish quyidagi boshlang'ich shartlarga bo‘ysunsa: x(0) = 0, x(0) = v